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neutrale und inverse
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amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
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BeitragVerfasst am: 22 Mai 2005 - 13:40:02    Titel: neutrale und inverse

ich hab ne ganz einfache frage, bin mir aber nich sicher:

in mengen ist das neutrale element eindeutig bestimmt, oder? also es gibt nicht mehrere neutrale und das neutrale ist zu jedem element dieser menge neutral. lieg ich richtig?
ich kann nämlich in meiner menge f.a. elemte ein neutrales gefunden, allerdings liegt die sache so, dass offensichtlich jedes element nur zu sich selbst neutral ist. gibt es daher kein neutrales für diese menge?

mit den inversen ist das problem, dass die inversen gleich dem neutralen element sind und das darf ja wohl irgendwie nich sein, oder?

also ich kann euch die aufgabe ja mal sagen:
handelt sich um potenzmenge und relation "vereinigung" und "schnitt" darauf.
hab bis jetz raus:
> neutral für V: (menge selbst)/ leere menge auf jeden fall
> invers für V: jede andere menge B, für die betrachtete menge A und B sind disjunkt (frage nach eindeutigkeit?)
> neutral für S: (mengen selbst)/ keines?
> invers für S: (mengen selbst)/ keines (folgt aus neutralem)
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 22 Mai 2005 - 23:23:12    Titel:

Zitat:
in mengen ist das neutrale element eindeutig bestimmt, oder?


Der Begriff "neutrale element" macht nur in einer "Struktur" einen Sinn. In Gruppen ist es z.B. eindeutig. Sei etwa e' ein weiteres (zu e) Element mit e' o a = a o e' = a für alle a in G. Dann gilt e = e o e' = e'.

Zitat:
also es gibt nicht mehrere neutrale und das neutrale ist zu jedem element dieser menge neutral. lieg ich richtig?


Nach Beweis oben ist offenbar in jeder Struktur in der das neutrale Element durch e o a = a o e = e eingeführt ist eindeutig, da nur das Axiom verwendet wurde.

Zitat:
ich kann nämlich in meiner menge f.a. elemte ein neutrales gefunden, allerdings liegt die sache so, dass offensichtlich jedes element nur zu sich selbst neutral ist. gibt es daher kein neutrales für diese menge?


Ja. Im Axiom "neutral" muß halt a allquantifiziert sein. Sonst ist sowohl die Eindeutigkeit als auch vieles mehr leicht zu kippen.

Zitat:
mit den inversen ist das problem, dass die inversen gleich dem neutralen element sind und das darf ja wohl irgendwie nich sein, oder?


Ist irgendwie nicht vernünftig, obwohl nicht verboten. Nimm dir die triviale Gruppe G = (M,e,o) mit M = {e}. Dann ist e^(-1) = e.

Zitat:
also ich kann euch die aufgabe ja mal sagen:
handelt sich um potenzmenge und relation "vereinigung" und "schnitt" darauf. hab bis jetz raus:
> neutral für V: (menge selbst)/ leere menge auf jeden fall
> invers für V: jede andere menge B, für die betrachtete menge A und B sind disjunkt (frage nach eindeutigkeit?)
> neutral für S: (mengen selbst)/ keines?
> invers für S: (mengen selbst)/ keines (folgt aus neutralem)


Also entweder Vereinigung oder Schnitt. Für die nichtleere Menge M und P(M): Für Vereinigung ist die leere Menge und für Schnitt M neutral. (P(M),o) mit Vereinigung bzw. Schnitt ist keine Gruppe. Denn es müsste ein inverses für M existieren, sodaß

M o M^(-1) = M U M^(-1) = e = leer.

Da aber M U A Obermenge von als nichtleer vorausgesetzen Menge M ist, kann nie M U A = leer gelten. Für Schnitte gilt analoges.

Bist Du sicher, daß Du die Aufgabe richtig interpretierst.
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 01:41:34    Titel:

Für die Vereinigung ist die leere Menge das neutrale Element und für den Schnitt die Potenzmenge selbst. Nur so erreicht man, daß die Bedingung
A vereinigt E = A bzw.
A geschnitten E = A
für alle Teilmengen erfüllt ist.
Wie man hier auf Inverse kommt, ist mir allerdings nicht klar.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 20:31:01    Titel:

danke erstmal. ist zwar zu spät weil schon abgegeben aber so hab ich das auch geschrieben. die aufgabe war exakt so. im wortlaut vom zettel abgetippt:
Zitat:
Auf der Potenzmenge P(M) einer Menge M werden durch n und u zwei (assoziative) Verknüpfungen definiert.

(a) Bestimmen Sie für diese Verknüpfungen jeweils ein neutrales Element (falls es existiert).

(b) Welche Elemente von P(M) haben ein inverses Element bezüglich n bzw. u ?


an "ist doch keine Gruppe, deshalb keine neutralen/inversen" hab ich auch gedacht, algebrafreak! allerdings schien mir die aufgabe nicht geeignet gelöst mit dem obigen satz. traute ich mich nicht und wird bestimmt auch nicht erwartet. Confused [/quote]
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 20:57:51    Titel:

Zu (b):

Die neutralen Elemente sind sich selbst auch inverse Elemente.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 21:14:01    Titel:

Zitat:
(b) Welche Elemente von P(M) haben ein inverses Element bezüglich n bzw. u ?


Die Fragestellung ist doch ein wenig anders, als ich die verstanden habe. Willst Du die Antworten noch wissen, oder soll ich's lassen?
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2005 - 13:30:55    Titel:

na lass hören, algebrafreak!
(kann ich ja schon mal erfahren, wieviel ich richtig hab... Rolling Eyes )
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2005 - 16:13:53    Titel:

Wie Hiob das richtig gesagt hat sind die Neutralen zu sich selbst invers. Vielmehr sind das die einzigen Elemente, die inverse besitzen.

Für P(M) mit Schnitt ist M das einzige Element mit einem inversen. M^(-1) = M.

Beweis: Es gilt zunächst M geschnitten mit M = M. Somit ist M zu M invers. Sei M ungleich A in P(M). Es soll für ein A' gelten A geschnitten mit A' = M (da M neutral ist). Daraus folgt aus Mengenlehre A = A' = M, was ein Widerspruch zur Annahme ist.

Für P(M) mit Vereinigung ist leere Menge O das einzige Element mit einem inversen. O^(-1) = O.

Beweis: Es gilt zunächst O vereinigt mit O = O. Somit ist O zu O invers. Sei O ungleich A in P(M). Es soll für ein A' gelten A vereinigt mit A' = O (da O neutral ist). Daraus folgt aus Mengenlehre A = A' = O, was ein Widerspruch zur Annahme ist.
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