laplace Transformation für anfänger

andrewneu · Full Member Anmeldungsdatum: 29.08.2006 Beiträge: 86

Hey leute,
ich hab mich heute mal zum ersten mal nen bisschen mit laplace beschäftigt und komm schon bei den ersten aufgaben nicht weiter.

Und zwar bei: sint*cost
Das kann man noch zusammenfassen in (1/2)*sin2t

dann ergibt sich für L{f(t)} = (1/2)* Integral (von 0 bis unend.) sin2t*e^-st dt

ich hab sonst immer partitiell Integriert aber hier fällt das sin2t ja nicht irgendwann weg. wie muss ich hier vorgehen?

Deniz · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2237

L{f(t)} = (1/2)* Integral (von 0 bis unend.) sin2t*e^-st dt

int u´v = uv - int uv´

L{f(t)} = 1/2 * { [-1/2 cos(2t)*e^(-st)] - INT -1/2 cos(2t) *(-s)e^(-st) dt }

L{f(t)} = -1/4 * { [ cos(2t)*e^(-st)] + INT cos(2t) *se^(-st) dt }

INT cos(2t) *se^(-st) dt = 1/2 sin(2t) * se^(-st) - int 1/2 sin(2t) * (-s^2)e^(-st)

= 1/2 sin(2t) * se^(-st) - int 1/2 sin(2t) * (-s^2)e^(-st) dt

= s/2 sin(2t) e^(-st) + (s^2)/2 int sin(2t)*e^(-st) dt

Nun kannst Du selbst weitermachen.^^

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet, aber Dein Problem dürfte gelöst sein.

andrewneu · Full Member Anmeldungsdatum: 29.08.2006 Beiträge: 86

hi, ich check die 3. zeile nicht ganz

anscheindend hast du für u'=sin2t genommen =>u=-1/2cos2t
und bei v=e^-st würde dann v'=(-s)*e^-st ergeben

und bei u´ v = uv - Int uv´
hat man doch L{f(t)} = 1/2 * { [-1/2 cos(2t)*e^(-st)] - INT -1/2 cos(2t) *(-s)e^(-st) dt } oder?

Deniz · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2237

Oh ich hab integriert. Smile

Sorry.^^

Ich checks gleich mal durch.

Ich habs ausgebessert. Ich hoffe, wir sind nun auf dem gleichen Nenner.

Rechenfehler hin oder her, der weitere Verlauf ist klar oder?

andrewneu · Full Member Anmeldungsdatum: 29.08.2006 Beiträge: 86

hmm..habs jetzt soweit durchgerechtet wie du es auch aufgeschrieben hast...kann man das jetzt irgendwie nach dem Integral umstellen oder soll ich weiter integrieren....?

Sorry bin nicht grad ne leuchte.... Idea

mein übungsleiter hat da irgendwie folgendes als ergebnis rausgehauen: 1/2 * e^-st/(s²+4)*(-sin2t-2cos2t) in den Grenzen von 0 bis unendl.

Deniz · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2237

Du bekommst nach der 2. part. Integration einen Ausdruck der form

int f(x) dx = a + b + c int f(x) dx also

(1-c) int f(x) dx = a + b

int f(x) = (a+b) /(1-c)

xeraniad · Verfasst am: 09 Feb 2010 - 11:20:32 Titel: Crash-Kurs mit Korrespondenzen

Notation mit Operator: L{f(t)} = F(s)
Notation mit Korrespondenz-Symbol: f(t) ⊶ F(s)
komplexe Frequenzvariable: s := σ+i·ω
Definitionsgleichung: F(s) = ∫0…∞ f(t)·exp(-s·t) ·dt
Linearität: a·f(t)+b·g(t) ⊶ a·F(s)+b·G(s)
…

Herleitung einer ersten Korrespondenz mit Re(α) < σ:
L{exp(α·t)} = ∫0…∞ exp(α·t)·exp(-s·t) ·dt = ∫0…∞ exp({α-s}·t) ·dt = [exp({α-s}·∞)-exp({α-s}·0)]÷(α-s) = [0-1]÷(α-s) = 1÷(s-α).
Daraus folgt die Korrespondenz exp(α·t) ⊶ 1÷(s-α).

Anwendung der Identität sin(z) = Re{exp(i·z)} = [exp(i·z) -exp(-i·z)] ÷(2·i) (ω ist Kreisfrequenz): L{sin(ω·t)} = L{[exp(i·ω·t) -exp(-i·ω·t)] ÷(2·i)}
Linearität: L{sin(ω·t)} = -½·i·L{exp(i·ω·t)} +½·i·L{exp(-i·ω·t)}
Anwendung der Korrepondenz exp(α·t) ⊶ 1÷(s-α): L{sin(ω·t)} = -½·i ·1÷(s -i·ω) +½·i ·1÷(s +i·ω)
Brüche (für gemeinsamen Nenner) erweitern: L{sin(ω·t)} = [-½·i·(s +i·ω)]÷[(s -i·ω)·(s +i·ω)] +[½·i·(s -i·ω)]÷[(s +i·ω)·(s -i·ω)]
Ausmultiplizieren: L{sin(ω·t)} = (-½·i·s +½·ω +½·i·s +½·ω)÷(s²+ω²)
Daraus folgt die neue Korrespondenz sin(ω·t) ⊶ ω÷(s²+ω²).

Anwendung der neuen Korrespondenz: L{sin(ω·t)·cos(ω·t)} = L{½·sin(2·ω·t)} = ½·2·ω÷(s²+{2·ω}²)
Daraus folgt eine weitere Korrespondenz sin(ω·t)·cos(ω·t) ⊶ ω÷(s²+4·ω²).

Einsetzen von 1 für ω ergibt die Lösung.
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Übrigens hab ich zu diesem Forum gewechselt, war nur noch zufällig hier.