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Lara-Do.
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Anmeldungsdatum: 02.02.2010
Beiträge: 75
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 Verfasst am: 07 Feb 2010 - 00:03:52 Titel: Extremalaufgabe |
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Kann mir vllt. jeman mit viel Zeit bei folgender Extremalaufgabe helfen
Super vielen dank schon mal an alle helfenden! Besonderen dank nochmal an mathefan 
fa:x-> ln (ax/a-x)
Die Tangente im Punkt P(0,5a/lna) des Graphen von fa bildet mit der positiven x-Achse und der negativen y-Achse ein Dreieck. Für welchen Wert von a nimmt sein Flächeninhalt ein max. an?
tx=(4/a)*x+(ln(a)-2)
HB: 1/2*g*hg
NB: h= 2-ln(a)
g= (2a-aln(a))/4
ZF: 1/2*(2a-aln(a))/4*(2-ln(a)) Richtig bis hierher? |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 00:25:05 Titel: |
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| Zitat: | ZF: 1/2*(2a-aln(a))/4*(2-ln(a)) Richtig bis hierher?
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...................................................... 
schreib das nun aber so:
F(a) = ( 1/8 ) * a * [ 2 - ln(a) ]^2
und berechne jetzt die erste Ableitung von F(a) nach a
usw..
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Lara-Do.
Full Member
Anmeldungsdatum: 02.02.2010
Beiträge: 75
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 16:37:46 Titel: |
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f'(a)= -1/8 ln(a)*(2-ln(a))
ae1= e^2 ae2=1 |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 19:17:47 Titel: |
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| Lara-Do. hat folgendes geschrieben: | f'(a)= -( 1/8 )* ln(a)*(2-ln(a))
ae1= e^2 ae2=1 |
waren wir uns nicht schon mal irgendwann einig,
dass das Maximum im Intervall 0 < a < e² liegt?
also:
F(e²) = 0 (minimaler gehts ja nicht für die Flächenmasszahl - oder?)
.... das Maximum von F(a) wirst du für a=1 erhalten ..
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Lara-Do.
Full Member
Anmeldungsdatum: 02.02.2010
Beiträge: 75
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 19:36:07 Titel: |
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also entfällt e^2 laut Sachverhalt
dann erhalt ich für h= 2 und für g=1/2
dann liegt der max. Flächeninhalt bei Amax.= 0.5cm^2 ???? |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 19:59:22 Titel: |
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| Lara-Do. hat folgendes geschrieben: | also entfällt e^2 laut Sachverhalt
dann erhalt ich für h= 2 und für g=1/2
dann liegt der max. Flächeninhalt bei Amax.= 0.5cm^2 ???? |
kannst du auch so rechnen:
F(a) = ( 1/8 ) * a * [ 2 - ln(a) ]^2
Maximum bei a=1 .. also F(1)= ...
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Lara-Do.
Full Member
Anmeldungsdatum: 02.02.2010
Beiträge: 75
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 20:06:08 Titel: |
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super danke
also F(1)= 1/2
das scheint so wenig
muss ich bei einer Extremwertaufgabe auch immer mit zweiter Ableitung überprüfen? |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 20:38:27 Titel: |
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| Zitat: | | muss ich bei einer Extremwertaufgabe auch immer mit zweiter Ableitung überprüfen? |
schaden kann das nie
aber natürlich könntest du gelegentlich auch noch
anders begründen, warum zB ein Maximum vorliegt..
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Lara-Do.
Full Member
Anmeldungsdatum: 02.02.2010
Beiträge: 75
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 20:55:24 Titel: |
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okay
f''(1)= -0,25 lokales Maximum
h ist jetzt +2 muss aber beim einzeichnen die Koordinaten (0/-2) auf der y-Achse haben, oder?
noch eine kurze Frage zu e)
wenn man gb= ln b(x-1) und f4 gleichsetzt kommt man auf den Berührungspunkt
ln(4x)-ln(4-x)=ln b(x-1)
ln(4x)=ln b(x-1) + ln(4-x)
4x=(x-1)*b+4-x
4x=bx-b+4-x
4x-4+x=b(x-1)
4x-4+x/(x-1)=b Wie kann man das weiter auflösen? und stimmt das so?
(x-1)*(4)+x/(x-1)
4+x=b So vllt.? |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 22:23:30 Titel: |
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| Zitat: | wenn man gb= ln b(x-1)
und f4 gleichsetzt kommt man auf den Berührungspunkt |
da ist leider mal wieder nicht ganz klar, wie das ln b(x-1) zu lesen ist?
vermutlich ln[b*(x-1)] 
| Zitat: |
ln(4x)=ln b(x-1) + ln(4-x)
4x=(x-1)*b+4-x  |
das darf ja wohl nicht wahr sein  ln(a) + ln(b) ist doch nicht ln(a+b) 
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Lara-Do.
Full Member
Anmeldungsdatum: 02.02.2010
Beiträge: 75
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 22:30:08 Titel: |
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ja ln (b(x-1))
achso da greift wieder eine Regel ich dachte ich kann einfach beides einzeln e^ nehmen
4x= (x-1)*b*(4-x) |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 07 Feb 2010 - 22:49:50 Titel: |
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ja - aber das ist nicht der richtige Ansatz zur Lösung von Nr e)
lies erst nochmal den Text ganz genau
und beginne dann zu überlegen..
... mache dir zB klar, dass der gesuchte Parameter b im Prinzip
nur eine Parallelverschiebung von y=ln(x-1) bewirkt.
welches Stichwort ist denn nun der entscheidend weiterhelfende "Knackpunkt" ?
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Lara-Do.
Full Member
Anmeldungsdatum: 02.02.2010
Beiträge: 75
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| Verfasst am: 08 Feb 2010 - 06:31:13 Titel: |
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nun ja
ln(b(x-1))
nährt sich durch die Parallelverschiebung dem Graphen von f4 an im Berührungspunkt P müssten beide Funktionen den selben Anstieg m besitzen
da sie sich nur berühren und nicht schneiden wird das wohl der Wendepunkt der Funktion f4 sein, demzufolge wäre b auch 4???
kann man das auch mathematisch nachweisen??? |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 08 Feb 2010 - 10:20:13 Titel: |
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| Zitat: | | kann man das auch mathematisch nachweisen? |
na klar - und du kannst das auch:
schau dir mal die beiden Ableitungen von
f(x)= ln[4x/(4-x)]
und
h(x)=ln[b*(x-1)]
an - und finde heraus , für welches x ist f ' (x) = h ' (x)
und wenn du dann den passenden x-Wert hast, dann musst du nur noch schauen ,
um wieviel du h noch oben verschieben musst, bis f berührt wird..
ok? |
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Lara-Do.
Full Member
Anmeldungsdatum: 02.02.2010
Beiträge: 75
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| Verfasst am: 08 Feb 2010 - 15:09:55 Titel: |
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Ich hab das jetzt so gerechnet:
1.) gb(x)=fa(x)
2.) gb'(x)=f4'(x)
2.) 1/(x-1)= 1/x+1/(4-x)
1/(x^2-x)= 1/(4-x)
4-x=x^2-x
4=x^2
x1= 2
x2= -2 entfällt laut Definitionsbereich
in eins einsetzen:
ln(bx-b)=ln(4x/(4-x))
2b-b= 8/2
b=4 |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 08 Feb 2010 - 15:29:22 Titel: |
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.................  |
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Lara-Do.
Full Member
Anmeldungsdatum: 02.02.2010
Beiträge: 75
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| Verfasst am: 08 Feb 2010 - 15:56:03 Titel: |
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super großes Dankeschön für deine Hilfe mathefan
Danke,Danke,Danke |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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Lara-Do.
Full Member
Anmeldungsdatum: 02.02.2010
Beiträge: 75
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| Verfasst am: 08 Feb 2010 - 19:27:41 Titel: |
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wow okay
aber danke nochmal |
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