Matrix berechnen

tidusderkleine · Full Member Anmeldungsdatum: 21.10.2008 Beiträge: 75

Hey,

ich hab einn kleines problem mit einer aufgabe, gegeben ist folgende matrix:
(-8 8 Cool

(-8 12 4) = A
( 8 -4 4)
Jetzt soll ich eine matrix B finden damit gilt B^3=A.
Leider hab ich keine idee wie ich auf so eine matrix kommen kann Sad

Hoffe jemand kann mir helfen, danke Smile

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 07 Feb 2010 - 21:27:18 Titel:

Überlege Dir, was das Potenzieren einer Matrix mit den Eigenvektoren und den Eigenwerten anstellt.

Ermittle dann Eigenvektoren und -werte von A und berechne daraus diejenigen von B.

Wenn Du die hast, kannst Du mit ihnen nach dem Muster Ax=λx neun Gleichungen für die Koeffizienten von B aufstellen.

Gruß, mike
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astrospezi · Senior Member Anmeldungsdatum: 26.07.2009 Beiträge: 909

Die Eigenwerte von A sind 8 8 -8......die von B 2 2 -2...die Eigenvektoren sind bei beiden gleich

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 07 Feb 2010 - 22:23:32 Titel:

Und der Eigenvektor z. B. zum Eigenwert -8 von A ist (2,1,-1)^T.
Da das auch ein Eigenvektor von B ist, und zwar zum Eigenwert -2, hat man damit zunächst mal drei Gleichungen für die b_ij:

[;\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} =-2*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix};]

Die übrigen sechs Gleichungen werden von den anderen beiden Eigenwerten geliefert.

Gruß, mike
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tidusderkleine · Full Member Anmeldungsdatum: 21.10.2008 Beiträge: 75

super, danke für eure antworten!! Smile

k das heißt die eigenwerte werden immer potenziert und eigenvektoren bleiben immer gleich?
Aber das mit der gleichung habe ich dann noch nicht ganz verstanden, kann sie leider nicht richtig entziffert :/

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 07 Feb 2010 - 22:32:08 Titel:

astrospezi · Senior Member Anmeldungsdatum: 26.07.2009 Beiträge: 909

Da ist noch was...A^2=64E....das heißt es geht zyklisch weiter natürlich auch rückwärts....1/4*A*1/4*A=4*E.....4*E*1/4*A=A....B=1/4*A oder 16*A^-1

tidusderkleine · Full Member Anmeldungsdatum: 21.10.2008 Beiträge: 75

danke

aber was genau ist das "E" in deiner formel?

@Hammer
k habs entziffert Smile

dann mache ich mich mal ans rechnen Razz

astrospezi · Senior Member Anmeldungsdatum: 26.07.2009 Beiträge: 909

Einheitsmatrix

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 07 Feb 2010 - 22:40:27 Titel:

Na, das machts hier natürlich wesentlich einfacher als ich mir träumen ließ.

Gruß, mike
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tidusderkleine · Full Member Anmeldungsdatum: 21.10.2008 Beiträge: 75

k

noch ne letzte frage damit mein ansatz nicht schon falsch ist, meine anderenm beiden einheitsvektoren lauten (1,-1,0)^T und (1,0,-1)^T stimmen die?

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 07 Feb 2010 - 22:49:10 Titel:

Ne, das sind keine Eigenvektoren.

Probier mal:

[;\begin{pmatrix} -8 & 8 & 8 \\ -8 & 12 & 4 \\ 8 & -4 & 4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = ...;]

Aber nach dem, was astrospezi geschrieben hast, brauchst Du die auch gar nicht mehr.

Gruß, mike
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tidusderkleine · Full Member Anmeldungsdatum: 21.10.2008 Beiträge: 75

hm da muss ich mich iwi verrechnet haben, bei -8 komm ich auch auf deinen genannten.
Aber stimmt mit seiner variante gehts natürlich schnell Razz

Danke aber nochmals euch beiden! Smile

tidusderkleine · Full Member Anmeldungsdatum: 21.10.2008 Beiträge: 75

k ich glaube ich hab meinen fehler gefunden hab jetzt (1 2 0)^T und
(1 0 2)^T raus als die 2 weiteren EV

k habs jetzt mit den 2 EV versucht und es kommt das richtige raus Smile

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 08 Feb 2010 - 07:51:06 Titel:

Ja, so sind die Eigenvektoren richtig.

Allerdings, wenn Du astrospezis einfachen Lösungsweg zu Ende denkst, dann folgt daraus folgendes:

Wenn alle Eigenwerte einer Matrix A den selben Betrag λ haben und sich höchstens im Vorzeichen unterscheiden, dann handelt es sich um eine Spiegelung, verbunden mit einer Streckung um den Faktor λ.

Die doppelte Ausführung macht die Speigelung rückgängig und erneuert die Streckung, so daß es sich bei der Matrix A² um die Identität, verbunden mit einer Streckung um λ² handelt.

Wenn Du das Spiel weiter spielst, dann erhältst Du die Aussage:
- Alle geraden Potenzen A^(2k) strecken den Raum lediglich um den Faktor λ^(2k)
- Alle ungeraden Potenzen A^(2k+1) strecken den Raum um den Faktor λ^(2k+1) und beinhalten zusätzlich die gleiche Spiegelung wie A.

Gruß, mike
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