Extremwertbestimmung m. Parameter im Nenner-bitte Denkanstoß

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

Hallo an alle Mathematiker,

es wäre schön, wenn mir jemand eine Hilfestellung zur Extrempunktberechnung geben könnte.

Habe eine Funktion mit dem fiesen Parameter t Sad

Die erste Ableitung = 0 setzen ist klar, dann habe ich da stehen:

x²+4x-t+4=O

Mein erster Gedanke war natürlich die gute, alte pq-Formel. Allerdings hätte ich dann als q "t-4" da stehen. So komme ich aber nicht zu einem akzeptablen Wert, den ich nachher in die zweite Ableitung einsetzen kann bzw. lässt sich dann der/die EP nicht mehr bestimmen.

Bin also sehr dankbar für einen Tipp, da ich so einen Fall noch nicht berechnet habe.

LG

Limo · Full Member Anmeldungsdatum: 17.03.2009 Beiträge: 122

benutz doch die mitternachtformel (is ja eig das gleiche, mag sie nur lieber) ^^

x 1,2 = (-b +- (b^2-4ac)^0.5)/2a

= (-4 +- (16-4(4-t))^0.5)/2
= (-4 +- (16-16+4t)^0.5)/2
= (-4 +- 2(t)^0.5)/2
= -2 +- (t)^0.5

x1 = -2 + (t)^0.5
x2 = -2 - (t)^0.5

sind doch 2 brauchbare werte...

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

Hallo Limo,

erstmal danke für die rasche Antwort.

Mitternachtsformel habe ich allerding noch nie gehört. Werd ich gleich mal googeln Very Happy

LG

Limo · Full Member Anmeldungsdatum: 17.03.2009 Beiträge: 122

ist das gleiche wie die pq-formel nur das du damit auch dinge wie
ax^2+bx+c = 0; ohne durch a zu teilen herausbekommst

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

Ok, ich habe mir die abc-Formel angeguckt und mal -rein zum Verstehen des Rechenwegs- durchgerechnet. Das ist also alles stimmig.

Wenn ich jetzt allerdings den x1 -und x2 - Wert in f"(x) einsetze, steht da:

für x1: f"(-2+t^0,5) = 2t/ (-2+t^0,5+2)³

und für x2: f"(-2-t^0,5) = 2t/ (-2-t^0,5+2)³
Die Funktionen f sind von t, leider hab ich keine Tastenkombi zum Tiefstellen von Zeichen.

Bin mir auch nicht sicher, ob hier evtl. binomische Formeln für die Berechnung in Frage kommen. Deutsch und Sprachen liegen mir eindeutig mehr. *schäm*
Im weiteren Verlauf der Kurvendiskussion soll ich die Ortskurve der lokalen Minimumpunkte aller Scharfunktionen bestimmen, wobei ich ja t gar nicht kenne.
Es hängt aber doch vom Wert von t ab, ob es sich um ein Minima oder Maxima handelt, denn sonst kann ich den Kurvenverlauf auch gar nicht zeichnen.

Nun bin ich am zweifeln, ob meine Ableitungen möglicherweise falsch sind und ich daher nicht zu meinen Extrempunkten komme.

Meine Funktion lautet ursprünglich: ft(x) = x²+t-4/x+2

1. Abl.: x²+4x-t+4/(x+2)²

2. Abl.: 2t/(x+2)³

Das sind zumindest meine bisherigen Ergebnisse.
Ohje, ich hoffe, die Problembeschreibung ist nicht allzu verwirrend. Embarassed

Limo · Full Member Anmeldungsdatum: 17.03.2009 Beiträge: 122

x1: f"(-2+t^0,5) = 2t/ (-2+t^0,5+2)³
x1: f"(-2+t^0,5) = 2t/ (t^0,5)³
x1: f"(-2+t^0,5) = 2/t^0,5

x2: f"(-2-t^0,5) = 2t/ (-2-t^0,5+2)³
x2: f"(-2-t^0,5) = 2t/ (-t^0,5)³
x2: f"(-2-t^0,5) = -2t/ (t^0,5)³
x2: f"(-2-t^0,5) = -2/t^0,5

was sagt den die 2 ableitung aus? was muss für einen hochpunkt, tiefpunkt rauskommen und für welche werte von t kommt es raus? ;D

alles fragen die du dir stellen solltest.

RochelsFrog · Junior Member Anmeldungsdatum: 05.02.2010 Beiträge: 37

Mal sone bescheidene Frage, wenn ich die Extrempunkte berechne muß ich doch erstmal die Extremstellen berechnen, das tue ich im Regelfall über die erste Ableitung, wobeii hier die Frage ist wie lautet die Funktion ist es f(x) oder ist es f(t) usw. die angaben fehlen.

nun wenn du die erste Ableitung genommen hast von der Ausgangsfunktion würde ich die Extremstellen ausrechnen , wenn du die hast setzt du die x Werte in die Ausgangsformel um die y Werte zu erhalten und somit dann für sozusagen die "Extrempunk" zuerhalten .

Die zweite Ableitung ist für die Wendepunkte die du aber nicht brauchst laut dem was du geschrieben hast .

kleine Hilfe .

f(x)= 2x²+4x+5

Erste Ableitung

f'(x) = 4x+4

f'(0)=4x+4
0=4x+4
-4=4x
x= -1

d.h die Extremstelle ist x=-1

einsetzen in die Ausgangsformel

f(x) = 2x²+4x+5
f(-1)= 2*(-1)²+4*(-1)+5
f(-1)=y=2-4+5=3

Damit hast du y = 3

Das heißt dein Extrempunkt wäre P(-1/3)

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

Ja, das ist die erste Ableitung genau so wie ich sie habe.

Naja, man schubst sich schwer selbst vom Schlauch. Aber ich glaub, alle Mathe-GKler schimpfen über das t. *gg*

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

@RochelsFrog: Hab deine Antwort grade erst gesehen.

Also es handelt sich um eine Funktion f von t (x), das ist es ja, was mir das Lösen so schwer macht. Das sind wahrscheinlich die Angaben, von denen du meintest, dass sie fehlen. Ich kann auf meiner Tastatur keine Buchstaben tiefstellen.

Werde mir aber deinen Ansatz auf jeden Fall mal genauer unter die Lupe nehmen. Ich will es ja verstehen, aber mit Scharparameter fällt mir das so schwer, obwohl es ja eig. "nur" eine Konstante ist.

LG

Limo · Full Member Anmeldungsdatum: 17.03.2009 Beiträge: 122

RochelsFrog · Junior Member Anmeldungsdatum: 05.02.2010 Beiträge: 37

Wäre hilfreicher wenn du einmal die Aufgabe hinschreibst und die Ursprungsformel vielleicht hast du schon ein Fehler beim ableiten das kann man so ja nicht überprüfen aber ich vermute wo das hin geht mal schauen

RochelsFrog · Junior Member Anmeldungsdatum: 05.02.2010 Beiträge: 37

@Limo .Mach ich auch nicht ! Das oben genannte war eine Hilfestellung mit einer von mir gewählten Funktion .

RochelsFrog · Junior Member Anmeldungsdatum: 05.02.2010 Beiträge: 37

Uff also es kkommt halt auf die Aufgabenstellung wenn der Parameter frei wählbar ist kann man ihn drin lassen , ansonsten würde ich einfach mal den Parameter errechnen als erstes und dann mit der Formel los marschieren aber das kommt darauf an . Ich brauch die Ausgangsformel und die Ursprungslösung

f von t(x) = ist mir soweit klar das t ein parameter von f ist .

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

Die Extremstellen meiner Funktion hab ich ja, es sind zwei.
Für x1 = -2 + t^0,5 und x2 = -2-t^0,5

Die Ursprungsfunktion ist f "t-tiefgestellt"(x)=x²+t-4/x+2
Also nicht f von tx oder so. f(x) und dazwischen, runtergestellt das t. Versuche mich auch gerade daran, nach t aufzulösen, da ich die Kurve nachher auch noch zeichnen darf.

Meine Ableitungen habe ich ja schon gepostet, wobei ich mir nicht sicher bin, ob da was schiefgelaufen ist.

Trotzdem danke für das Beispiel, das veranschaulicht nochmal den Rechenweg.

Es ist wirklich ganz schön kniffelig.

Limo · Full Member Anmeldungsdatum: 17.03.2009 Beiträge: 122

RochelsFrog · Junior Member Anmeldungsdatum: 05.02.2010 Beiträge: 37

@Limo nicht das wir jetzt quer reden Wink

.

Ich würde jetzt wohl versuchen den Parameter aus der Ausgangsformel zu ermitteln da das ganze nachher auch noch gezeichnet werden muß ist es demnach nicht egal das da ein freier Parameter mit drinnen ist .

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

Ja, das ist meine Funktion. Ähm, komplexe Zahl sagt mir auf den ersten Blick jetzt nichts. Embarassed

Kann aber gut sein, dass mein Oberstübchen schlapp macht, da ich nun schon seit einigen Tagen an einer einzigen Kurvendiskussion hänge.
Das (x) vor meiner Gleichung ist wieder hochgestellt, also auf der Höhe von f, t ist hier wirklich nur der Parameter.

Limo · Full Member Anmeldungsdatum: 17.03.2009 Beiträge: 122

der parameter ist variabel...

in diesem fall gibt es drei möglichkeiten

t>0 => 2 extrempunkte
t=0 => 1 Loch, keine Extrempunkte, eine Gerade
t<0 => müssen wir nicht beachten... die nullstellen in der ableitung wären hier im komplexen zahlenbereich

RochelsFrog · Junior Member Anmeldungsdatum: 05.02.2010 Beiträge: 37

@Limo an soetwas dachte ich auch

@Paula damit hast du so gesehen alles ggf. noch die/den Wendepunkt berechnen soll heißen die zweite Ableitung

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

Zitat:"extremstelle bei {-2+t^0,5} und {-2-t^0,5} und t kann nur positiv und nicht 0 sein
=> was heißt das für f''(x)"

Na, dann kann t nur größer 0 sein und ist damit ein lok. Minima.
Bloß, wie krieg ich das auf Papier?

@Limo: Das hieße, ich muss t überhaupt nicht bestimmen und kann den mit verschiedenen Werten zeichnen. Ist das korrekt?

Denn meine weitere Diskussion umfasst die Aufgabe, K von 1 für -6 kleinergleich x kleinergleich 4 samt Asymptoten zu zeichnen. Also muss ich dann diese Werte für t einsetzen, nehme ich an.

RochelsFrog · Junior Member Anmeldungsdatum: 05.02.2010 Beiträge: 37

Sag mal hast du die erste Ableitung über die Quotientenregel gemacht ?

Limo · Full Member Anmeldungsdatum: 17.03.2009 Beiträge: 122

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

Ja genau, über Quotientenregel.
Achso, kann ja wegen der Wurzel nur positiv sein. Das meintest du bestimmt?

Limo · Full Member Anmeldungsdatum: 17.03.2009 Beiträge: 122

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

Eieiei, dann hab ich weiter oben ganz schönen Quatsch geschrieben, von wegen Werte für t einsetzen. *malmirselbervordenkopfhau*

RochelsFrog · Junior Member Anmeldungsdatum: 05.02.2010 Beiträge: 37

Ok wenn ich mich noch recht erinnern kann

f(x)=u(x)/v(x)=f_t(x)=(x²+t-4)/(x+2)

Also wäre wohl mein Ansatz .

u(x)=(x²+t-4)
v(x)=(x+2)

u'(x)=(2x)
v'(x)=(1)

( (2x)*(x+2) - (x²+t-4)*1 )/ (x+2)²

(2x²+4x-x²-t+4)/ (x+2)²

(x²+4x-t+4)/ (x+2)²

Berechne ich allerdings die Nullstelle über die p q Formel bekomme ich ein wenig was anderes heraus

p = 4
q= (-t+4)

x_1,2=-p/2 +- Wurzel aus (p/2)² - q

= -2 +- Wurzel aus 4 -(-t+4)
= -2 +- Wurzel aus +t

x1= -2 + t^0,5
x2= -2 - t^0,5

Limo · Full Member Anmeldungsdatum: 17.03.2009 Beiträge: 122

RochelsFrog · Junior Member Anmeldungsdatum: 05.02.2010 Beiträge: 37

Jap klar doch alles klar . Thx

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

@RochelsFrog:
Möglicherweise habe ich einen Vorzeichenfehler in die Ableitungen eingebaut.
Wenn ich das nochmal von vorne mache, habe ich

für 1. Abl. x²+4x+t-4/(x+2)² und

für 2. Abl. 16x+16-2t/(x+2)³ heraus.

Wie du das mit der pq-Formel gemacht hast, ist mir allerdings immernoch schleierhaft. Denn da habe ich für

x1= (-2)+ (8-t)^0,5 und
x2= (-2)- (8-t)^0,5 heraus.

Limo · Full Member Anmeldungsdatum: 17.03.2009 Beiträge: 122

ehh es entartet:

du hast eine parameterfunktion gegeben und willst die extrempunkte... herausfinden:

f_t(x)=(x²+t-4)/(x+2)
f'_t(x)=(x²+4x-t+4)/(x+2)²
f''_t(x)=2t/(x+2)³

jetzt wird nach den extremstellen gesucht

f'_t(x) = 0 :
0 = (x²+4x-t+4)/(x+2)²

x1 = -2 + (t)^0.5
x2 = -2 - (t)^0.5

t=0
=> wenn t = 0 ist gibt es an der Stelle -2 einen extrempunkt
=> -2 ist aber nicht definiert => sonderfall
t<0
=> sobald t negativ ist gibt es keine reelen nullstellen => in diesem fall keine beachtung schenken
t>0
=> 2 nullstellen => könnten 2 extrempunkte sein

prüfen:

x1: f"(-2+t^0,5) = 2/t^0,5 => für t>0 ist das teil positiv => tiefpunkt
x2: f"(-2-t^0,5) = -2/t^0,5 => für t>0 ist das teil negativ => hochpunkt

an der stelle x1 ist ein tiefpunkt, an der stelle x2 ein hochpunkt

jetzt noch koordinaten ausrechnen
f(x1) = ...
f(x2) = ...

später dann eventuell noch ortskurve ^^

RochelsFrog · Junior Member Anmeldungsdatum: 05.02.2010 Beiträge: 37

Nein hab es nochmal nachgebessert jetzt stimmt die Rechnung , Limo hatte recht in dem letzen Post von ihm ist es so absolut richtig .

Das wollte ich auch gerade verfassen Wink

. Damit dürften dir deine Fragen erklärt sein .

Paula81 · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.02.2010 Beiträge: 18

Tja, zumindest heißt das, dass ich net der Einzige bin mit Vorzeichenfehlern. Wink

Werd das jetzt noch mal ganz in Ruhe durchgehen und berechnen, was Limo geschrieben hat und sag an der Stelle schon mal "Danke" für eure Mühe.

Ja, ich hoffe, dass ich nun wieder alleine weiter komme.

LG