Komplexe Zahlen, Polardarstellung und Skizze

dune1982 · Full Member Anmeldungsdatum: 08.02.2010 Beiträge: 75

Hallo Zusammen
Als Klausurvorbereitung rechne ich gerade Altklausuren der Höheren Mathematik. Da immer wieder Fragen bei mir auftauchen die ich mit hilfe von Google nicht allein lösen kann, habe ich mich hier mal angemeldet. Die meisten Fragen sind für euch warscheinlich lächerlich einfach.

Na ich leg mal mit der ersten los Wink

1. Es sei z=r(cosφ + i sinφ), r>0. Schreiben sie w=z^-n in Polarkoordinaten: Betrag w = ????? und w=????

2.Skizzieren Sie die Menge

{z€ℂ (Im z)² = Im (z²)} \ {z€ℂ (Re z)² = RE (z²) }

Wie gehe ich an so eine aufgabe heran und wie könnte die Lösung aussehen? Ich bin da absolut ratlos, Mengenlehre ist sowiso nicht so ganz mein fall.

Vielen dank im vorraus

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 08 Feb 2010 - 17:09:25 Titel:

Zu 1)
Du meinst wahrscheinlich "Betrag w = ????? und φ=????".

Tip: Da gibt es einen Satz, wie sich in der Polarkoordinatendarstellung Polarwinkel und Betrag eines Produktesaus denen der Faktoren ergeben. Und eine Potenz ist schließlich nur ein mehrfaches Produkt.

Zu 2)
Bei {z€ℂ (Im z)² = Im (z²)} \ {z€ℂ (Re z)² = RE (z²) } hast Du die senkrechten Striche vergessen.

Tip: Lies Dir erstmal in Worten vor, was da steht:"Alle komplexen Zahlen, für die gilt: Quadrat des Imaginärteils ist Imaginärteil des Quadrats, aber nicht Quadrat des Realteils ist Realteil des Quadrats"
Dann mache einen Ansatz z=u+iv und rechne all diese tollen Quadrate aus. So bekommst Du eine Gleichung und eine Ungleichung für u und v.

Gruß, mike
_________________
√∞≠≤≥±≈∫≡¼⅓½⅔¾∧∨¬∈⊂⊄∩∪∂
αβγδεηκλμνπρσφωΓΔΘΛΣ

dune1982 · Full Member Anmeldungsdatum: 08.02.2010 Beiträge: 75

Hey Danke für deine Antwort
aber ich meine wirklich w=????? also ohne Betrag Wink

Es gibt einen satz für diese Berechnung, hatte auch erst an die Formel von Moivre gedacht mit dieser Formel lassen sich ja Quadrate von Komplexen Zahlen errechnen. Jedoch bin ich mir in diesem fall nicht sicher da es sich ja um hoch -n hadelt. Kann ich da die Formel genauso anwenden?
zu 2
Ja jabe wirklich die senkrechten Striche nach dem C und dem R vergessen.
Werde nun mal mit deinem Ansatz versuchen hier weiter zu kommen.

dune1982 · Full Member Anmeldungsdatum: 08.02.2010 Beiträge: 75

Also wenn ich zu 1
die Formel von Moivre anwende so erhalte ich w=r^-n (cos(-nα) + i sin(-nα)
ist das richtig? und wie würde hier Betrag w ausschauen? meine lösung wäre einfach wurzel r²

dune1982 · Full Member Anmeldungsdatum: 08.02.2010 Beiträge: 75

oh mist in diesem fall währe α natürlich durch φ zu ersetzen Wink

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 09 Feb 2010 - 12:49:22 Titel:

Ja, richtig.

1.
Moivre gilt analog beim Dividieren, bei der Kehrwertbildung und beim Wurzelziehen. Das kann man sich leicht klarmachen:
Z. B. beim Kehrwert: Welche Zahl u=r'*(cos(α')+i*sin(α')) liefert mit z=r*(cos(α)+i*sin(α)) multipliziert gerade 1=1*(cos(0)+i*sin(0))?
Antwort: Es muß r'=1/r und α'=-α sein, denn dann ist r'*r=1 und α'+α=0.
Analog schließt Du beim Wurzelziehen.

2.
Der trigonometrische Anteil hat immer den Betrag 1. Der Betrag der komplexen Zahl steckt immer im anderen Faktor. Der ist hier alsio r^(-n).

Gruß, mike
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dune1982 · Full Member Anmeldungsdatum: 08.02.2010 Beiträge: 75

Ja besten dank mike
dann bin ich ja mit der ersten aufgabe schon mal weiter. Wink