Ableitung Exponentialfunktionen über Regel für Potenzreihen

HBK · Full Member Anmeldungsdatum: 12.02.2009 Beiträge: 51

Hi,

irgendwie habe ich einen Hänger... Ich bin auf die Ableitung der Exponentialfunktion über ihre Zahlenfunktion gestoßen. Das d/dx e^x = e^x ist, ist ja bekannt. Aber wenn man das durch die Exponentialreihe

ihre Ableitung bildet, kommt das als Ergebnis:

, was ja nicht gleich x^n/n! ist. Auch wenn man die zweite Ableitung bildet, kommt das raus:

Ach man, jetzt habe ich eine Idee bekommen.^^ Eine Reihe ist ja die Summe ihrer Summanden und wenn man n=0 setzt, bekommt man 0, weil d/dx x^0/0!=0 (warum kann man hier eigentlich durch 0 teilen?) Dann würde die Reihe ausgeschrieben so aussehen:

Aber nun eine neue Frage: Das ist ja nur ein Summand der Reihe, wenn man die 1. Ableitung bildet. Das heißt, dass er allein unmöglich die Summe von 0 bis ∞ von x^n/n! und somit unmöglich e^x=d/dx e^x sein kann. Ich bin verwirrt, könnt ihr mir weiterhelfen? Danke. =)

(Gibt es eigentlich hier eine Latex-Funktion?)

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 09 Feb 2010 - 08:43:03 Titel:

HBK · Full Member Anmeldungsdatum: 12.02.2009 Beiträge: 51

@M_Hammer_Kruse:

Danke für deine Antwort, aber so ganz entwirrt bin ich noch nicht.^^ Irgendwie verstehe ich nicht ganz, dass es bei den Funktionen
[;f(x)=e^{x}\Rightarrow f'(x)=e^{x};]
heißt (also sich nicht verändert), aber bei den Potenzreihen
[;\frac{d}{dx}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!};]
(sich also doch verändert). Wie kann das eine gleich sein, das andere aber nicht und dennoch bringen sie das gleiche Ergebnis?