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kantenlänge eines aquariums -.-
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nanashi
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 10:17:49    Titel: kantenlänge eines aquariums -.-

ja ich weiß... peinlich, eigentlich sollte ich selbst wissen wies geht, aber ich hab keine ahnung -.-
wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte...
also hier die aufgabe:

alle kanten eines quaderförmigen aquariums müssen mit einer plastikschiene eingefasst werden.
diese schiene ist 900cm lang.
die seitenlängen der grundfläche stehen im verhältnis 1:2.
das volumen soll maximal werden.

berechne die kantenlänge der grundfläche sowie die höhe h

weiß jemand wie das geht? ich wäre echt dankbar, wenn mir das jemand schrittweise erklären könnte, hab echt keinen schimmer von mathe...
-.-
Ingenieurio
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Anmeldungsdatum: 20.05.2005
Beiträge: 342

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 12:56:39    Titel:

1. Ermitteltst Du wieviel Kannten hat ein Quader, es sind 12!
2. Jetzt dividierst Du die Schienenlänge durch die Kantenanzahl:
900cm/12=75. Die Grundfläche hat also einen Umfang von 4*75cm=300cm.
3. Jetzt dividierst Du die 300cm durch 2: 300cm/2=150cm jetzt dividierst du die 150cm durch 3, denn du hast bei einem Verhältnis von 1:2 immer 3 gleichgroße Teile: 150cm/3=50cm. Somit ist die eine Seite 50cm und die andere 100cm
4.Höhe berechnen: h=(900cm-2u)/4=(900cm-600cm)/4=75cm
nanashi
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 14:11:29    Titel:

wow vielen dank, dass du mir geholfen hast ^.^ echt nett von dir
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 22:47:10    Titel:

Ich stimme schon mal zu, daß ein Quader 12 Kanten hat. Aber das heißt nicht, daß jede Kante gerade ein Zwölftel der 900cm ist.
Es gibt vier Breitenkanten, vier Höhenkanten und vier Tiefenkanten und es gilt:
900cm = 4*b+4*h+4*t.
Die andere Nebenbedingung ist:
b=2*t.
Der Quader ist doppelt so breit wie tief.
Die Zielfunktion ist die Funktion des Volumens.
V(b,h,t) = b*h*t.

Erst setzt man die zweite Nebenbedingung in Zielfunktion und erste Nebenbedingung ein:
900cm = 4*b+4*h+4*t --> 900cm = 4*2*t+4*h+4*t = 4*h+12*t
V(b,h,t) = b*h*t --> V(h,t) = 2*t*h*t = 2*h*t²

Dann stellt man die veränderte Nebenbedingung nach einer Variablen um:
900cm = 4*h+12*t --> h = (900cm-12*t)/4 = 225cm-3t
und setzt das in die Zielfunktion ein:
V(h,t) = 2*h*t² --> V(t) = 2*(225cm-3t)*t² = 450cm*t² - 6*t³

Schließlich sieht die Zielfunktion so aus:
V(t) = 450cm*t² - 6*t³.

Davon muß man nun einen Hochpunkt berechnen.
Die notwendige Bedingung ist: V'(t)=0
Die hinreichende Bedingung ist: V''(t)<>0 (ungleich Null)

V'(t) = 900cm*t - 18*t²
V''(t) = 900cm - 36*t

Notwendige Bedingung:
0 = 900cm*t - 16*t²
0 = (900cm - 16*t)*t

Daraus folgt, daß eine Nullstelle bei t=0cm ist.
Aus 0 = (900cm - 16*t) ergibt sich die zweite Nullstelle:
0 = 900cm - 16*t |+(16*t)
16*t = 900cm |:(16)
t = 56,25

Diese Nullstellen setzt man in die zweite Ableitung ein:
V''(0) = 900cm > 0, deshalb ist über t=0 ein Tiefpunkt.
V''(56,25) = -1125 < 0, deshalb ist über t=56,25 ein Hochpunkt.

Also wird das Volumen maximal bei t=56,25cm.
Aus h = 225cm-3t ergibt sich h so: h= 225cm-168,75cm = 56,25cm und
aus b=2*t ergibt sich: b = 2*t = 112,5cm.
Ingenieurio
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Anmeldungsdatum: 20.05.2005
Beiträge: 342

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2005 - 12:52:30    Titel:

@hiob
Zitat:
Ich stimme schon mal zu, daß ein Quader 12 Kanten hat. Aber das heißt nicht, daß jede Kante gerade ein Zwölftel der 900cm ist.


Wo habe ich geschrieben das jede Kante ein Zwölftel ist der 900 cm ist?

Wenn Du richtig lesen würdest, dann hättest Du gesehen das die Breite 100cm, die Tiefe 50cm und die Höhe 75cm sind.
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 02:39:14    Titel:

Ingenieurio hat folgendes geschrieben:
2. Jetzt dividierst Du die Schienenlänge durch die Kantenanzahl:
900cm/12=75. Die Grundfläche hat also einen Umfang von 4*75cm=300cm.
nanashi
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 14:31:12    Titel:

vielen dank ihr zwei
es hat alles gestimmt, außer, dass es 18 statt 16 sein muss in der rechnung und ich laut einem klassenkameraden die rechnung mit der 2. ableitung gar nicht brauche...
hey, war voll lieb von euch mir zu helfen
danke nochmal.
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