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Supremumsnorm
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milka-schnute
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Anmeldungsdatum: 16.10.2009
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2010 - 14:17:53    Titel: Supremumsnorm

Hallo,
ich habe eine Frage zur Supremumsnorm:
Wenn ich das richtig verstanden habe, konvergiert eine Folge von Funktionen fn glm gg f, wenn die supremumsnorm von fn-f gg 0 konvergiert, richtig?
Mein Problem ist aber, dass ich nicht so richtig verstanden habe, was eine Supremumsnorm ist und wie man bestimmt wogegen sie konvergiert.
Kann mir jemand helfen? Die Definition kenne ich, vllt kann es jemand verständlich erklären^^
Danke schon mal!
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 538

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2010 - 19:59:54    Titel:

Nun zunächst solltest du dir klar machen, was eine Norm überhaupt ist: Wenn du die Norm eines Vektors berechnest (ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums, und das muss nicht ein Tupel mit Zahlen drin sein sondern kann eben auch eine Funktion sein. Vielleicht habt ihr schon gelernt, dass Funktionen einen Vektorraum bilden).
Nun was macht diese Norm jetzt mit dem Vektor? Sie orndet ihm eine reelle Zahl zu, und diese ist sogar immer nichtnegativ.
Wozu braucht man das? Um Vektoren in irgendeiner Form vergleichen zu können. Wenn du reelle Zahlen vor dir hast, zum Beispiel 4 und 7, dann kannst du 4<7 schreiben. Wenn du aber die Vektoren (1,3) und (2,1) vor dir hast, welcher ist dann größer? Richtig: Es gibt keine Antwort, denn solche Tupel kann man nicht anornden. Hier kommt die Norm ins Spiel: Sie orndet beiden Vektoren eine Zahl zu (wie auch immer sie das macht ist egal), aber diese Zahlen kann man vergleichen. Also kannst du sagen: Bezüglich dieser oder jener Norm sind die beiden Vektoren größer, kleiner oder gleich.

Was hat das alles nun mit der Konvergenz von Funktionenfolgen zu tun? Konvergiert eine Folge gegen einen Grenzwert, so rücken die Folgenglieder beliebig nahe an den Grenzwert heran, oder anders ausgedrückt, der Abstand von Grenzwert und Folgenglied wird beliebig klein. Und hier kommt das Problem: Wenn du eine Folge von Vektoren hast, dann kannst du nicht einfach vergleichen, wie nahe die Glieder einem Grenzvektor sind, da wir ja wissen, dass Vektoren (außer wenn es zufällig Zahlen sind) nicht einfach so verglichen werden können. Also braucht man eine Norm, bezüglich dieser dann Vergleiche möglich sind.
Nun habe ich die ganze Zeit von irgendwelchen Normen geredet, es gibt ja viele verschiedene. Und jede Norm liefert auch andere Zahlen. Punktweise Konvergenz braucht aber garnicht zu wissen, wie man die Zahlen durch die Norm berechnet, es reicht wenn irgendwann der Abstand bzgl. einer fest gewählten Norm gegen Null geht. Bei gleichmäßiger Konvergenz ist das anders, denn hier betrachtet man den größtmöglichen Abstand, denn eine Funktion zu einer Grenzfunktion haben kann. Und wenn dieser (maximale) Abstand schon gegen Null geht, dann geht jeder andere Abstand erst recht gegen Null (Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz, umgekehrt nicht immer!).

Wenn du also eine Funktionenfolge fn vor dir hast und untersuchen willst, ob sie gegen eine Grenzfunktion f gleichmäßig konvergiert, dann berechnest du für festes n den Abstand des n-ten Folgengliedes zu f, indem du alle x-Werte einsetzt, und den größtmöglichen Wert (betragsmäßig) herausnimmst. Also so:
sup{|fn(x) - f(x)| : alle x aus Defbereich von fn}. Das ist die Sup-Norm von fn-f, ein Vektor, dem durch die Norm eine Zahl zugeordnet wird (nämlich der max. Abstand). Und wenn dieser Abstand für alle möglichen x gegen Null geht, dann bleibt der Folge nichts anderes übrig, als sich beliebig nahe dem f anzunähern.

Viel Text, der hoffentlich etwas geholfen hat. Versuch doch mal, eine Funktionenfolge zu basteln, die gleichmäßig konvergiert, und eine, die nicht gleichmäßig, sondern nur punktweise konvergiert, und poste dann deine Ideen. Dann sehen wir weiter.
milka-schnute
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Anmeldungsdatum: 16.10.2009
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2010 - 11:36:04    Titel:

Vielen, vielen Dank, dass du dir so viel Zeit genommen eine so ausfürhliche antwort zu schreiben. Ich war, bis vor einer Minute auch davon überzeugt, dass ich es jetzt verstanden haben. jetzt bin ich es nihct mehr.
angenommen, ich habe die Funktion fn(x)=(x/n). (Die habe ich aus einem Beispiel, daher weiß ich, dass sie nicht gleichmäßig konvergiert^^)
Diese konvergiert punktweise gg 0, richtig?
Nun untersuche ich die glm Konv.:
dann habe ich die supremumsnorm von (x/n)-0 oder?
Da hätte ich jetzt spontan gesagt, die konvergiert auch gleichmäßig. ist dem aber nicht so, weil das x auch gleich dem n sein kann, und das ganze dann 1 wäre?
hmm, also wie du siehst, komm ich noch nicht ganz klar^^
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 538

BeitragVerfasst am: 16 Feb 2010 - 00:17:29    Titel:

Nun, in deinem Beitrag steckt mehr Wahrheit, als du es dir zunächst vielleicht vorstellst =)

Dein Beispiel für punktweise aber nicht glm. Konvergenz ist sehr schön und richtig gewählt.
Zeichne dir diese Funktionen für ein paar n mal in ein Koordinatensystem. Das sind ja alles Geraden mit Steigung 1/n durch den Ursprung. Und je größer das n wird, desto "flacher" werden die Geraden auch, sie nähern sich also der x-Achse an.

Bei der Untersuchung auf glm. Konvergenz betrachten wir ja den größtmöglichen Abstand der Funktionenfolge und der (vermuteten) Grenzfunktion (hier die Nullfunktion, wie du richtig gesagt hast), also wir berechnen

sup { |fn(x) - 0| : x € R } = sup { |x| / n : x € R}

für (und das ist sehr wichtig) FESTES n. Und wie groß ist nun dieses Supremum für festes n? Du hast schon richtig vermutet: Da ist was im Busch. Wenn wir x = 0 setzen, dann kommt 0 heraus (das wäre ja gut). Aber: Wenn wir x = n setzen, dann kommt 1 raus. Wenn wir x = 2n setzen, dann 2, usw. Das Supremum bezeichnet aber den GRÖßTEN Wert, der angenommen werden darf. D.h. bei FESTEM n und immer größer werdendem x (wir müssen ja alle x einsetzen, also auch die gaaanz großen x) wird auch |x|/n immer größer. => sup ist unendlich (und eben nicht gleich 0). Und da das für jedes n gilt, kann die Folge nicht gleichmäßig konvergieren.

Du kannst das sogar grafisch sehen: Gleichmäßige Konvergenz heißt, dass du um deine Grenzfunktion einen beliebig engen "Schlauch" legen kannst, sodass die Funktionenfolgenglieder (hier unsere Geraden) ab einem bestimmten n allesamt ganz in dem Schlauch liegen. Nun halte mal ein n fest. Dann kannst du, egal wie breit du deinen Schlauch auch wählst, immer einen x-Wert finden, sodass der Punkt der Geraden mit diesem x-Wert aus dem Schlauch ragt. Also keine glm. Konvergenz.

Ich schreibe dir mal zwei Funktionenfolgen hin, und du kannst mal überlegen, was wie wogegen konvergiert und warum.
a) fn(x) := 1/(e^(x^2+n)) auf R
b) fn(x) := x^n auf [0, 1]
milka-schnute
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Anmeldungsdatum: 16.10.2009
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2010 - 11:42:34    Titel:

Also, ich glaube, jetzt habe ich es verstanden Smile
zu deinen funktionsfolgen:
a) fn(x) konv glm gg 0, da der exponent von e ja beliebig groß werden kann (also auch das x), es konvergiert ja weiterhin gg 0. somit konv es dann ja auch pktw
b)fn(x) konv punktw gg 0, aber nicht glm, da supnorm von x^n auf [0,1] 1 ist, da für das größtmögliche x, die 1, x^n 1 ist.
ist das so richtig? wenn, würde mich das sehr freuen, weil dann wäre das ja gar nicht so kompliziert Smile
vielen dank für deine hilfe!!!
milka-schnute
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Anmeldungsdatum: 16.10.2009
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2010 - 23:41:57    Titel:

hmm, was ich jetzt widerum nicht verstehe:
warum ist fn(x)= nxe^(-nx²) nicht gleichmäßig stetig, wenn 0 mit im Definitionsbereich liegt, aber schon, wenn 0 nicht mit drin ist?
f wäre doch 0 oder?
hmm, toll, jetzt dachte ich, ich habs verstanden, und jetzt steh ich schon wieder aufm schlauch^^
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 538

BeitragVerfasst am: 19 Feb 2010 - 00:24:37    Titel:

Zunächst zu den Funktionenfolgen:
Deine Antworten sind zwar richtig, die Begründungen gefallen mir aber noch nicht so recht. Versuche mal, die Sup-Norm konkret auszurechnen bzw. abzuschätzen.

Bei a) fang ich mal an: sup{|fn(x)-f(x)| : x€R}=sup{e^(-x^2)/e^n : x€R}

wie kann man hier weitermachen?

Zu b): Überlege dir erst einmal, wie die Grenzfunktion konkret aussieht.


Nun zu deiner neuen Frage:
Meinst du jetzt wirklich gleichmäßig STETIG? Denn das ist was völlig anderes.
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