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beweise -.-
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guerkchen
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 16:34:11    Titel: beweise -.-

hiiiiiiiiilfe!!

müsste eigentlich ziemlich einfach sein, aber ich kann mich kein bisschen darauf konzentrieren - wie bewiest man folgende aussagen:

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... n^3 = (n(n+1) : 2) ^2

und

4 ist ein Teiler von 5^n + 7

danke!!!!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 18:18:39    Titel:

Bei dem ersten benutzt man vermutlich vollständige Induktion.
Beim zweiten kann auch über vollständige Induktion bewiesen werden, daß 5^n / 4 immer den Rest 1 ergibt, was gleichbedeutend zum Beweis des Gefragten ist.
guerkchen
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 19:04:20    Titel:

joa, bei beiden benutzt man vollständige induktion

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n(n+1) / 2)^2

ich bin da mitten im umstellen hängen geblieben - entweder ich hab was falsch gemacht, oder hab einfach keinen plan, wie weiter. ich hab das so gerechnet:

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3

(n(n+1) / 2)^2 + (n+1)^3 [einsetzen der induktionsvoraussetzung]

(n^4 + 2n^3 + n^2) / 4 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 [klammern auflösen/ausmultiplizieren]

(n^4 + 2n^3 + n^2 + 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4) / 4 [bruch erweitern]

((n^4 + 4n^3 + 6n^2 +4n + 1) + (2n^3 + 7n^2 + 8n + 3)) / 4
[zusammenfassen]

((n+1)^4 + 2n^3 + 7n^2 + 8n + 3) / 4

uuund da bin ich hängen gelblieben -.-
zum schluss muss (((n+1)(n+2))/2)^2 rauskommen
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 19:38:31    Titel:

Sobald ich bei sowas hängenbleibe, versuch ich, von der anderen Seite loszugehen.
Schau Dir mal an, was man erhält, wenn man von [((n+1)(n+2))/2]^2 die ganzen Klammern auflöst.
guerkchen
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 19:58:35    Titel:

das hab ich auch schon versucht -.- ich sitz schon stunden an der blöden aufgabe - um so länger ich bei sowas brauche umso verwirrter werde ich, weil ich mir dann die fehler merke, mit dem richtigen vertausche ... HILFE!!!!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 26 Mai 2005 - 00:18:11    Titel:

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ + (n+1)³
= (n(n+1) / 2)² + (n+1)³ [einsetzen der induktionsvoraussetzung]
= (n^4 + 2n³ + n²) / 4 + n³ + 3n² + 3n + 1 [klammern auflösen/ausmultiplizieren]
= (n^4 + 2n³ + n² + 4n³ + 12n² + 12n + 4) / 4 [bruch erweitern]
= (n^4 + 6n³ + 13n² + 12n + 4) / 4 [zusammenfassen]
= ( (n+1)(n³+5n²+8n+4) )/4 [polynomdivision mit (n+1)]
= ( (n+1)²(n²+4n+4) )/4 [polynomdivision mit (n+1)]
= ( (n+1)²(n+2)² )/4 [polynomdivision mit (n+2)]
= [ ((n+1)(n+2))/2 ]²

Hast Du noch Probleme mit der anderen Aufgabe gehabt?
Faulus
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 26 Mai 2005 - 11:30:24    Titel:

zu Aufgabe 2:

Beh: 5^n mod 4 = 1
Bew: 5^n mod 4 = (5 mod 4)^n mod 4 = 1^n mod 4 = 1

Gruss
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