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Doppelintegral
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Slyze
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 18:03:41    Titel: Doppelintegral

Kann mir jemand einen link posten in dem die nutzung von Doppelintegralen in Funktionen mit zwei veränderlichen ( f(x,y)=x²+y² ) erklärt wird. Es geht darum, was das doppelintegral in dem Funktionsgebirge umspannt und was es aussagt.

Das einzig verständliche, was ich gefunden habe war eine Anleitung zur Volumenberechnung.
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2005 - 21:54:10    Titel:

Hallo Slyze,

einen Link kann ich dir nicht geben, aber ein paar Bedeutungen eines Doppelintegrals.

Bei Funktionen mit 2 Veränderlichen werden Oberflächen im Raum dargestellt. f(x,y) = z = x²+y² ist zum Beispiel einen Paraboloid (Rotationsparabel).
Mit dem Doppelintegral kann man nun das Volumen berechnen.
V = ∫∫ f(x,y) dx dy

Will man die Oberfläche berechnen, so bildet man das Flächenelement df
df = |ru x rv|du dv. ru und rv sind die partiellen Ableitungen nach u und v als Vektoren. Beim Paraboloid wäre der r(u,v) = (u,v,u²+v²) und ru = (1,0,2u) und rv = (0,1,2v)

Die Oberfläche erhält man dann mit dem Doppelintegral
O = ∫∫df

Multipliziert man die Fläche mit einer Dichtefunktion, so erhält man die Masse der Fläche mit
δ(u,v) = Dichtefunktion
M = ∫∫δ(u,v)df

Ist a(u,v) eine Abstandsfunktion zu einer Drehachse, so erhält man mit
T = ∫∫a²(u,v)δ(u,v)df das Trägheitsmoment

Hier nochmal ein Beispiel zur Berechnung einer Kugeloberfläche

Die Kugel wird beschrieben durch die geographische Koordinaten φ (Breitengrad) und λ(Längengrad). Punkt der Kugel wird beschrieben mit
r(φ ,λ) = (R sin(φ) cos(λ), R sin(φ) sin(λ), R cos(φ) )
Partiellen Ableitungen
rφ = (R cos(φ) cos(λ), R cos(φ) sin(λ), -R sin(φ))
rλ = (-R sin(φ) sin(λ), R sin(φ) cos(λ), 0)
rφ x rλ = R²( sin²(φ) cos (λ), sin²(φ) sin (λ), sin(φ) cos(φ) )
|rφ x rλ| = R² sin(φ)

O = 0∫2π 0∫π R² sin(φ) dφ dλ = 2R² 0∫2π dφ = 4π R²

Vielleicht nicht ganz einfach das Ganze. Vernünftige Links im Internet habe ich allerdings auch nicht gefunden.

Gruß
Dirk
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