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Legendre Polynom Integralberechnung
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alexx
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Anmeldungsdatum: 27.02.2005
Beiträge: 520

BeitragVerfasst am: 19 Feb 2010 - 23:11:39    Titel: Legendre Polynom Integralberechnung

hallöchen liebe user;

ich will das folgende Integral berechnen:
[;\int_{-1}^1 P_n(x)^2 dx;]
wobei [; P_n(x);] das legendre Polynom ist.
Nach mehrmaliger partieller Integration, muss man dann das Integral
[;\int_{-1}^1 (x^2-1)^n dx;]
berechnen, um das obrige Integral bestimmen zu können.
Das wiederrum hat mich zu folgender Formel geführt:
[;\sum_{k=1}^n {n \choose k} \frac{(-1)^{n-k}}{2k+1}=\frac{(2^n*n!)^2}{(2n+1)!};]
Diese würde ich jetzt gerne beweisen, aber ich habe keinerlei ahnung und hoffe jetzt auf eure Hilfe.

Was ich schon versucht habe:
Ich habe schon versucht die obrige Formel per Induktion zu beweisen. Doch leider gelingt mir der Induktionsschritt nicht.
Für den Induktionsschritt habe ich mir auch die rekursive Formel für die Binomialkoeffizienten angeeignet
[;{n+1 \choose k}={n \choose k}+{n \choose k-1};], aber auch mit dieser wollte es mir nicht gelingen.
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