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algebra-probleme schon wieder
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amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
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BeitragVerfasst am: 24 Mai 2005 - 13:48:48    Titel: algebra-probleme schon wieder

also ich hab n paar probleme, was mein aktuelles übungsblatt betrifft. n paar kleine, aber die hindern mich an der vollständigen und kompletten lösung. also los:

(1) hier gehts um homomorphie-eigenschaft "multiplikation" meine rechnung ist wie folgt, aber ich muss beweisen, dass es homomorph ist und komm nicht drauf:
Zitat:
f(z) = a-ib [z= a+ib, z€C]
z.z.: f(z x y) = f(z) x f(y)
Beweis: f((a+ib)(c+id)) = f(ac+iad+ibc+i²bd) = f(ac+i(ad+bc+ibd)) = ac-i(ad+bc+idb) = ac-iad-ibc-i²db = (a+ib)(c-id)-2bd =
f(z) f(y) -2bd
tja ich hätte gern = ac-iad-ibc+i²db das wäre nämlich schön gleich f(z)f(y) und mein beweis wäre super. mit i²= -1 lässt sich da leider auch nix machen. HILFE!!!


(2) wie beweise ich die injektivität um himmels willen?


danke schonmal und: ich muss das morgen abgeben also wär echt super, wenn ich da heut noch ne antwort von euch bekommen könnte!
Laughing
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2005 - 16:05:15    Titel:

hallo,

zu 1

z = a+bi
und z' = a-bi sei die zu z komplex-konjugierte zahl.

dann ist f(z) = z' nach voraussetzung.

seien jetzt x und y komplexe zahlen, dann gilt

f(xy) = (xy)' = x'y'= f(x)f(y)

grüße
m
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2005 - 16:13:54    Titel:

hä? so einfach?
ich dachte, man solle das nachrechnen! also ob (xy)' dasselbe ist, wie x'y' und das isses ja offensichtlich nicht.
Confused
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2005 - 16:15:34    Titel:

rechne mal f(x)f(y) laut vorschrift nach und dann f(xy). das is nich das gleiche. das vorzeichen hinten stimmt nämlich nicht. *grrr*
mach mich noch wahnsinnig diese aufgabe!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 03:21:43    Titel: Re: algebra-probleme schon wieder

Zitat:
f(z) = a-ib [z= a+ib, z€C]
z.z.: f(z x y) = f(z) x f(y)
Beweis: f((a+ib)(c+id)) = f(ac+iad+ibc+i²bd) = f(ac+i(ad+bc+ibd)) = ac-i(ad+bc+idb) = ac-iad-ibc-i²db = (a+ib)(c-id)-2bd =
f(z) f(y) -2bd

Ich denke das geht so:

f((a+ib)(c+id))
= f(ac+iad+ibc+i²bd)
= f(ac+iad+ibc-bd)
= f(ac-bd+i(ad+bc))
= ac-bd-i(ad+bc)
= ac-bd-iad-ibc
= ac-iad-ibc-bd
= ac-iad-ibc+i²bd
= (a-ib)(c-id)
= f(a+ib)*f(c+id)

Zitat:
(2) wie beweise ich die injektivität um himmels willen?

Du mußt zeigen, daß zwei Variablen, die auf denselben Wert abbilden, gleich sind.
Seien x=a+ib,y=c+id€C und gelte f(x)=f(y). Dann folgt:
f(x)=f(y)
=> f(a+ib)=f(c+id)
=> a-ib=c-id
=> a=c UND b=d
=> x=y
Fertig.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 07:53:13    Titel:

danke für die antwort!
also das mit der homomorphie is ne gute idee! thanx

mit der injektivität das hab ich auch so gemacht, is ja eigentlich auch nicht weiter schwer, nur ich hab mir so gedacht aus a+id=c+id muss nicht a=c und b=d folgen, denn allein für die ganzen zahlen ist doch 8+3*2=14=11+3*1. oder gilt diese überlegung nicht für C?
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 13:54:32    Titel:

amy hat folgendes geschrieben:
rechne mal f(x)f(y) laut vorschrift nach und dann f(xy). das is nich das gleiche. das vorzeichen hinten stimmt nämlich nicht. *grrr*
mach mich noch wahnsinnig diese aufgabe!


es macht wenig sinn, deine rechenfehler zu wiederholen. bei komplexen zahlen gilt ganz allgemein (xy)' = x'y'

grüße
m
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 14:03:42    Titel:

@maerchenkoenig:
Mag sein, daß man diese Erkenntnis über komplexe Zahlen bei der Aufgabe nicht voraussetzen darf.

@amy:
Nein, in C sind zwei zahlen gleich, wenn sie im Realteil und Imaginärteil gleich sind. Man kann sich das auch als Vektoren mit zwei Komponenten vorstellen. Bei Vektoren gilt auch, daß zwei gleich sind, wenn sie sich in allen Komponenten gleichen.
Statt gleich "a=c UND b=d" zu folgern, wäre es vielleicht besser gewesen:

a-ib=c-id
=> Re(a-ib)=Re(c-id) UND Im(a-ib)=Im(c-id)
=> a=c UND (-b)=(-d)
=> a=c UND b=d
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 21:11:04    Titel:

hm naja. was ist "RE"? Im heißt ja "bild von" oder? dann geht doch aber nus Im(a+ib) weil a-ib doch schon die abgebildete ist...
Confused
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 26 Mai 2005 - 01:00:03    Titel:

Re(x) liefert den Realteil von x und Im(x) liefert den Imaginärteil von x.
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