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binomischer lehrsatz
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susannethomas
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Anmeldungsdatum: 22.05.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2005 - 20:57:45    Titel: binomischer lehrsatz

Soll Binomischen Lehrsatz mit Induktion beweisen.

Bin mir in einigen Schritten unsicher.

Bin von sum k=0^n (n über k) a^n-k b^k ausgegangen, statt wie in der Aufgabe sum k=0^n (n über k) a^k b^n-k, kann man das bei Beweisen machen?

Bin so weit:
=a^n+1+sum_k=1^n(n über k) a^n-k+1 +sum_k=0^n-1 (n über k) a^n-k b^k+1+b^n+1

=a^n+1+sum_k=1^n (n über k) a^n-k+1 b^k+ ???

habe im Lehrbuch gefunden an der Stelle der Fragezeichen sum_j=1^n (n über j-1) und dann den letzten Summanden vom Schritt davor rangehängt. Verstehe den Schritt nicht. Was ist mit j gemeint? Bin über eine Antwort dankbar.
FVato
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Anmeldungsdatum: 24.05.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 18:53:42    Titel:

Ok, ich probiers mal:

Induktionsschritt:
(x+y)^(n+1)
= (x+y)*(x+y)^n
= (x+y) [Sum(k=0 bis n) (n über k) * x^(n-k) * y^k]
= [Sum(k=0 bis n) (n über k) * x^(n+1-k) * y^k] + [Sum(k=0 bis n) (n über k) * x^(n-k) * y^(k+1)]
= [Sum(k=0 bis n) (n über k) * x^(n+1-k) * y^k] + [Sum(k=1 bis (n+1)) (n über (k-1)) * x^(n-k+1) * y^k]
= x^(n+1) + [Sum(k=1 bis n) (n über k) * x^(n+1-k) * y^k] + [Sum(k=1 bis n) (n über k-1) * x^(n+1-k) * y^k] + y^(n+1)]
= x^(n+1) + [Sum(k=1 bis n) [(n über k) + (n über (k-1))] * x^(n+1-k) * y^k] + y^(n+1)

Es gilt [(n über k) + (n über (k-1))] = ((n+1) über k)
Beweiss ist einfach in die definiton einsetzen und ausrechnen.

= ((n+1) über 0) * x^(n+1) * y^0 + [Sum(k=1 bis n) ((n+1) über k) * x^(n+1-k) * y^k] + ((n+1) über (n+1)) * x^0 * y^(n+1)
= [Sum(k=0 bis (n+1)) ((n+1) über k) * x^(n+1-k) * y^k]

=> n -> n+1

Sorry mir ist ungefähr bei der hälft aufgefallen das ich es mit a und b anstatt x und y hätte machen sollen, aber hatte keine lust mehr es zu ändern Wink
Falls noch fragen sind einfach sagen, und wer tippfehler findet darf sie behalten Very Happy

mfg
FVato
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