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Bestimmen der Tangentengleichung
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chuan
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Anmeldungsdatum: 19.12.2007
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 15:10:01    Titel: Bestimmen der Tangentengleichung

Hallo,

erster (und entscheidender) Schritt zum Bestimmen der Tangentengleichung ist die Berechnung des Differentialquotients, danach bestimme ich lim für x-> x0. Diesen Wert verwende ich in der Punktsteigungsform und erhalte somit die Tangentengleichung.
Die Ermittlung des Differtialquotienten ist mir bei meinen Aufgaben bisher auch immer gelungen, mit Hilfe von binomischer Formel, Ausklammern, Polynomdivision.
Jetzt habe ich folgende Aufgaben:
f(x) = 2x - 1:3x ; x0 =1

Ich bekomme jetzt für den Differentialquotient: (2x - 1/3x - 5/3) : (x - 1)

Für den Zähler ergibt sich dann: 6x^2 - 1 - 5x
Für den Nenner ergibt sich: 3x(x-1)
Jetzt habe ich oben genannte Schritte (Binom geht nicht, Ausklammern geht nicht, Polynomdivision geht nicht) versucht, denn um lim für den Differentalquotient für x->1 bestimmen zu können, darf der Nenner so nicht bleiben, da er sonst 0 ergeben würde.

Dass ich dann bei der nächsten Aufgabe auch nicht weiterkomme, liegt vermutlich am gleichen Problem, auch hier bringen mich meine bisherigen Rechenschritte nicht weiter:
f(x) = 1/x - x^1/2 ; x0 = 1

Differentialquotient: (1/x - x^1/2) : (x-1)
Hier habe ich wiederum als Nenner: 1-xx^1/2
und für den Zähler x(x-1)

Wo liegt mein Gedankenfehler? Herzlichen Dank für einen Denkanstoß!
Johnsenfr
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Anmeldungsdatum: 06.05.2009
Beiträge: 343

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 15:47:04    Titel:

Müsst ihr die Ableitung immer so kompliziert über den Differentialquotient berechnen? Hab ihr noch nicht die Rechenregeln für das Differentieren, die ja direkt aus dem Diff.quotient folgen?

Gruß

Johnsen
Johnsenfr
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Anmeldungsdatum: 06.05.2009
Beiträge: 343

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 15:50:17    Titel:

Was mir gerade auffällt:

Warum soll die Polynomdivision von

(6x²-5x-1) : (x-1) nicht klappen?
Probiers mal! Bei mir gehts das ohne Probleme ^^

Gruß

Johnsen
chuan
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Anmeldungsdatum: 19.12.2007
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 16:21:42    Titel:

Wir machen das bis jetzt immer mit Hilfe des Differentialquotienten.

Zu der Polynomdivision:

Ich muss nicht durch (x-1) teilen, sondern durch 3x(x-1), da sich durch den Hauptnenner im Zähler (3x) die 3x in den Nenner verschieben.
Johnsenfr
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Anmeldungsdatum: 06.05.2009
Beiträge: 343

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 16:35:35    Titel:

Nein, teil mal durch (x-1) dann kannst du das ja kürzen! Es kommt das richtige heraus, habs schon aussprobiert!

Gruß

Johnsen
Listing
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Anmeldungsdatum: 08.01.2007
Beiträge: 462

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 16:36:04    Titel:

Du willst
(6x²-5x-1) : 3x(x-1) = ??

lösen. Also teilst du erstmal durch (x-1) und danach durch 3x

Ergebnis 1:
(6x²-5x-1) : (x-1) = 6x+1

Ergebnis 2:
6x+1 : 3x = 2+1/(3x)

Und hier kannst du doch x=1 einsetzen...
Dann kommst 2+1/3 raus!

Schaffst du die zweite alleine?
chuan
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Anmeldungsdatum: 19.12.2007
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 17:40:31    Titel:

Danke, klasse, die erste habe ich gelöst und meine Lösung mit der Lösungsangabe verglichen. Sie stimmt.
Ich muss nun sagen, dass ich gerade Aufgaben übe, die als Zusatzaufgaben im Mathebuch angegeben sind und die sind immer kniffliger, als die, die wir im Unterricht machen. Dass ich den Teiler bei der Polynomdivision auf 2 mal-teilen aufteilen kann, war mir nicht klar.

Bei der zweiten Aufgabe habe ich mich verschrieben und die Begriffe Teiler und Nenner verwechselt.
Aus der Aufgabe ergibt sich:

Differentialquotient: (1/x - x^1/2) : (x-1)
Hier habe ich als Zähler: 1-xx^1/2
und für den Nenner: x(x-1)

Hier habe ich versucht, durch Binom 3 (also mal (1+xx^1/2) beim Zähler die Wurzel wegzubekommen, aber das bringt nichts, weil ich dadurch die Wurzel in den Nenner bekomme, weil ich beim Term ja in Zähler und Nenner die gleiche Ergänzung machen muss.
Dann habe ich, wie bei der vorigen Aufgabe versucht, erst mal eine Teildivision mit Sadx-1)
durchzuführen, aber
1-xx^1/2 : (x-1) => 1-x^3/2 : (x-1)
gibt bei mir keine Lösung, da bleibt immer eine 1 übrig.
Vielleicht ist das jetzt wirklich zu schwer und ich sollte nächste Woche meine Mathelehrerin fragen, aber 1. lässt es mir keine Ruhe und 2. sagt sie bestimmt, solche Aufgaben kämen an der Arbeit nicht dran.

Vielleicht könnt Ihr mir ja doch einen Tip geben?
Listing
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Anmeldungsdatum: 08.01.2007
Beiträge: 462

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 19:23:25    Titel:

Die ist ein ziemlicher Brocken. Vielleicht gibt es eine einfacher Lösung aber kommst du ab hier weiter?

chuan
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Anmeldungsdatum: 19.12.2007
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 20:07:20    Titel:

Hallo Listing,

danke, danke, ich habe die Lösung damit herausbekommen.

Das ist ja eine Wahnsinnsrechnung, auf diesen Rechenweg wäre ich nie gekommen,
aber die Schritte sind mir klar.

Ich habe im Zähler jetzt Binom 3 und bekomme somit (x-1), das kann ich dann kürzen und es bleibt -(x+x^1/2+1) : (x^1/2+1)x stehen.

lim für x->1 ist dann -3/2 und das stimmt mit der Lösungsangabe im Buch überein.

Wie kommst Du auf so einen Rechenweg? Unglaublich! Wäre ich nie draufgekommen.
Listing
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Anmeldungsdatum: 08.01.2007
Beiträge: 462

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 21:04:32    Titel:

Erlich gesagt kann ich dir da auch kein Patentrezept geben Laughing
Ich hatte ein bisschen Zeit und habe deshalb einfach mal alles mögliche probiert ^^
Man muss halt versuchen den oberen Term irgendwie zu faktorisieren, damit unten was wegfällt.

Ich frage mich deshalb auch ob es nicht vielleicht einen einfacheren Weg gibt. Weil die Rechnung ist schon ein bisschen zu komplex um sie von einem Schüler zu verlangen Laughing
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