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Konstruiere einen Kreis aus 3 Elementen
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y0011482
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 22:53:28    Titel: Konstruiere einen Kreis aus 3 Elementen

Hallo

Ich weiß, wie ich einen Kreis aus 3 Punkten konstruiere (Umkreis des Dreieck). Auch weiß ich, wie ich einen Kreis aus 3 Geraden konstruieren kann (Innkreis des Dreieck).

Aber wie bekomme ich den Kreis, der duch P geht und die Geraden g und h berührt? Der Mittelpunkt muss auf der Winkelhalbierenden von g und h liegen. Aber wie mache ich dann weiter?

Hier ein Bild:


Und dann gibt es natürlich noch den anderen Fall, wenn ich einen Kreis zu zwei Punkten Q und R suche, der die Gerade i berührt: Hier muss der Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten zur Strecke QR liegen, und dann?

Auch dazu ein Bild:


Wäre echt super, wenn mir jemand damit weiterhelfen könnte. Ich spüre, dass die Kreise genau festgelegt sind und doch kann ich den konkreten Berührpunkt an die jeweiligen Geraden nicht ermitteln.

Schon mal danke
y0011482
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2005 - 23:04:38    Titel:

Hallo y0011482,

Zu Fall eins.

Mittelpunkt liegt auf einer gegebenen Gerade g(x). Der Abstand zu Geraden muss gleich dem Abstadn zum Punkt P sein.

g(x) = Wurzel( (xp-x)² + (yp-g(x))² )

Alle Werte einsetzen und nach x umformen.


Zu Fall zwei.

Eigentlich genauso.
Abstand zur Geraden mus gleich Abstand zum Punkt R oder Q sein.
Abstandsfunktion zur Geraden a(x) aufstellen und Strecke zum Punkt Q d(x) berechnen.

a(x) = d(x)

Bei unbekanntem Radius ist mir keine geometrische Konstruktion bekannt.

Gruß
Dirk
y0011482
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2005 - 15:53:16    Titel:

Hallo DMoshage!

Zitat:
Mittelpunkt liegt auf einer gegebenen Gerade g(x). Der Abstand zu Geraden muss gleich dem Abstadn zum Punkt P sein.

g(x) = Wurzel( (xp-x)² + (yp-g(x))² )


Deine "Gerade" ist eine Wurzelfunktion?

Ich glaube gern, dass die Mittelpunkte der Kreise, die durch P gehen und eine Gerade g berühren NICHT auf einer Geraden liegen.

Wenn P den Abstand d zu g hat, dann gibts einen Kreis mit Radius d/2, der genau zwischen P und g liegt. Rechts und links muss der Radius größer werden mit zunehmendem Abstand von P. Dann gibts den Fall, dass der Radius gerade d ist und die zugehörigen Kreise haben ihren Mittelpunkt jeweils in der Ecke eines Quadartes rechts, bzw. links von P.

Als Funktion der Ortskurve der Mittelpunkte würde ich auch irgendwas aus dem euklidischen Abstand herleiten. Kann man das dann auch irgendwie zeichnerisch konstruieren?

OK, ich habe folgendes rausgefunden: Bei Abstand d, die Gerade g als x-Achse und P auf der positiven y-Achse gilt: P(0 | d)

M(x | y)

y = x*x / k + d/2

Mit ner Konstanten k, die von d abhängt ...

y0011482

PS: Die Aufgabe kommt aus dem Schulbuch meines Nachhilfeschülers. Das kann doch nicht so schwer sein.
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2005 - 16:09:21    Titel:

Hallo y0011482,

ich habe nicht gesagt, dass die Gerade g(x) eine Wurzelfunktion ist.

Als g(x) habe icht die Winkelhalbierende bezeichnet. Betrachte die Funktion g(x) mit h als x-Achse und Tangentenschnittpunkt als Ursprung.

Dann ist g(x) der y-Wert der Kreismittelpunktes und der Radius des Kreises.
Der Radius des Kreises muss aber auch dem Abstand M1 P entsprechen. Der Abstand M1 P berechnet sich mit Wurzel( (xp-x)² + (yp-g(x))².

Die von mir genannte Gleichung kann man auch noch weiter auflösen:

g(x) = Wurzel( (xp-x)² + (yp-g(x))² ) |()²
g(x)² = (xp-x)² + (yp-g(x))²
g(x)² = (xp-x)² + yp² - 2yp g(x) + g(x)² | - g(x)²
0 = (xp-x)² + yp -2 yp g(x)

Jetzt die Geradengleichung einsetzen und nach x² und x sortieren. Dann erhälst du eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel lösen kannst.

Gruß
Dirk
y0011482
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 23:58:06    Titel:

Hallo!

Danke DMoshage für die Analyse, aber ich suche immer noch nach einer Möglichkeit das ganze zeichnerisch, also nur mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.

Dabei bin ich auf die Leitgeradenkonstruktion der Parabel gestoßen. Die Parabel ist der Ort aller Kreismittelpunkte, die durch den Brennpunkt gehen und die Leitgerade berühren.

Als Konstruktion zu einem gegebenen Berührpunkt A auf der Leitgeraden l wird A mit dem Brennpunkt F verbunden. Dann wird die Mittelsenkrechte auf AF konstruiert. Diese schneidet in M das Lot auf l in A.

Wenn ich nun noch einen zweiten Brennpunkt F2 einführe, dann erhalte ich noch eine Parabel, die ich durch Variation von A auf l auch zeichnen lassen kann. Sofern die Strecke von F nach F2 nicht parallel zu l ist, haben die Parabeln im Allgemeinen zwei Schnittpunkte, also zwei mögliche Kreismittelpunkte M1 und M2, für die die Kreise durch F, F2 und einen Punkt A auf l gehen.

Leider kann ich das nur konstruieren bei gegebenem A. Jetzt suche ich einen Weg, die Konstruktion umzukehren.

Irgendwelche Vorschläge?
y0011482
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