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figgerich
Newbie
Anmeldungsdatum: 07.12.2009
Beiträge: 15
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 Verfasst am: 15 März 2010 - 17:14:28 Titel: Tangente zu x^3+y^3-2xy=0 |
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Hi,
soll die Tangente zu x^3+y^3-2xy=0 im Punkt P(1,1) bestimmen.
Im Grunde ist das ja nicht schwer, aber da ich hier nicht direkt eine nach y aufgelöste Funktion gegeben hab, bin ich mir etwas unsicher.
Habe also erstmal nach y aufgelöst, mit Polynomdivision durch (x-y)^2 kommt ich zu folgendem:
x^3+y^3-2xy=0
(x-y)^2*(x-(y^2/(x-y))=0
und damit komm entweder auf (x-y)^2=0 oder (x-(y^2/(x-y))=0
Nehm ich jetzt die erst von beiden (weil schön einfach) komm ich auf y=x.
Nun das in die Tangentengleichung einsetzen und ich erhalte das selbe als Tangente.
Ist mein Vorgehen korrekt so oder darf ich das nicht so machen? |
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Johnsenfr
Full Member
Anmeldungsdatum: 06.05.2009
Beiträge: 343
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| Verfasst am: 15 März 2010 - 18:39:03 Titel: |
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(x-y)^2*(x-(y^2/(x-y))=0
Wenn du das ausmultiplizierst, kommt du nicht auf die angegebene Gleichung!
Und allein wenn du sagst, dass es nur erfüllt ist für x=y, dann mag das für x=y=1 oder x=y=2 gelten aber x=y=3 schon nicht mehr! Also muss ein Fehler in der Polynomdivision liegen!
Gruß
Johnsen
_________________
"Die Physik gelangt zu einer Beschreibung der Wirklichkeit, indem sie darauf verzichtet!" - Herbert Pietschmann |
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figgerich
Newbie
Anmeldungsdatum: 07.12.2009
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 15 März 2010 - 19:12:18 Titel: |
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Arghh! Ja klar hast recht, meine Division ist totaler Mist!
Einfach schon zuviel rumgerechnet heute, morgen ist die Klausur 
Mein grundsätzliches Vorgehen scheint aber korrekt zu sein?!
Wie kann ich dann am besten nach y auflösen, seh gerade keinen anderen Ansatz mehr.
LOL grad mal bei wolframalpha eingegeben:
Kann ich die Tangente auch irgendwie bestimmen ohne nach y aufzulösen? |
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M_Hammer_Kruse
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 5658
Wohnort: Kiel
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| Verfasst am: 15 März 2010 - 20:08:55 Titel: |
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| Zitat: |
| Kann ich die Tangente auch irgendwie bestimmen ohne nach y aufzulösen? |
Ja, durch implizite Ableitung.
Beispiel:
Wenn eine Funktion durch xy=1 bestimmt ist, kannst Du, ohne erst nach x aufzulösen (darum "implizit") flgendermaßen rechnen:
xy=1 | beide Seiten ableiten
(xy)'=0 | Produktregel
x*y'+x'*y=0 | x'=1
x*y'+y=0 | nach y' auflösen
y'=-y/x
Wenn Du jetzt einen Kurvenpunkt kennst, z. B. (x|y)=(2|0,5), kannst Du dort auch einfach die Steigung bestimmen:
y'=-y/x=-0,5/2=-0,25
Das geht analog auch bei Deiner Funktion.
Gruß, mike
_________________
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figgerich
Newbie
Anmeldungsdatum: 07.12.2009
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 15 März 2010 - 21:20:47 Titel: |
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(x^3+y^3-2xy)'=0'
3x^2+3y^2-2y-2y'x=0
y'=(3x^2+3y^2-2y)/(2x)
mit P(1/1) erhalte ich dann für x=y=1
y'=(3+3-2)/2=2
Tangente t=y(x0)+y'(x0)(x-x0)
t=1+2x-2=2x-1
stimmt das jetzt so?
Auf jeden Fall mal vielen Dank für die Hilfe! |
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M_Hammer_Kruse
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 5658
Wohnort: Kiel
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| Verfasst am: 15 März 2010 - 21:23:40 Titel: |
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Die Ableitung von y³ ist nicht 3y², sondern 3y²*y' (Kettenregel).
Gruß, mike
_________________
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