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Elliptischer Kegel
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Ovalus
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 26 Mai 2005 - 22:15:50    Titel: Elliptischer Kegel

Hallo!

Kann mir jemand einen Tip geben, wie ich die Abwicklung,
also die Mantelfläche, eines Kegels mit elliptischer Grundfläche
berechnen und zeichnerisch darstellen kann?
Oder wohin ich mich mit dieser Frage wenden kann?

Ovalus
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2005 - 09:10:32    Titel:

Hallo Ovalus,

Ich hätte zwar einen Ansatz zur Berechnung der Mantelfläche eines geraden elliptischen Kegels. Ich glaube aber, dass das nicht zu einfachen Integralen führt.

Zuerst eine Funktion mit zwei Veränderlichen aufbauen, die den Kegel beschreibt. Zur Vereinfachung steht der Kegel auf dem Kopf. Die Höhe des Kegels ist H0. Als Gleichung der Ellipse wird die Form ( a*cos φ, b*sin φ) verwendet. Die Größe der Ellipse steigt linear von 0 bis H0 an.

x(φ,h) = {a cos φ * h/H0, b sin φ * h/H0, h}

Jetzt mit dem Ansatz, der hier

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?t=25723&highlight=doppelintegral

beschrieben ist, die Oberfläche berechnen.

Ob der Mantel überhaupt eben abwickelbar ist, weiß ich nicht. Man kann natürlich mit S( φ) und R( φ)*dφ (S = Mantelsehne, dφ = Winkeländerung abhängig von der Auflösung, R(φ) = √(a cosφ)²+(b sinφ)²) ) per Computer versuchen den Mantel zu zeichnen.

Berechnung der Sehne S(φ):.

Berechnung des Punktes auf der Ellipse mit X( φ)=(a*cos φ, b*sin φ, 0). Spitze des Kegel mit Z = (0,0,H0). Sehne S( φ) = |X( φ) - Z|.

Gruß
Dirk
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2005 - 12:18:00    Titel:

Hallo Ovalus,

hier mal zwei Mäntel mit H0 = 4, a=2 und b=5



und H0 = 10, a=2 und b=5



Gruß
Dirk
Ovalus
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 28 Mai 2005 - 11:47:31    Titel: Guter Mantel!

Hallo Dirk!
Vielen Dank für die prompte Antwort!!!!
Leider bin ich nicht so der Mathe-Profi und verstehe die Formel nicht ganz:
Was heißt das kleine "h" in der Formel, wenn die Höhe HO ist?
Und welche Rechenoperation ist mit dem Komma gemeint?
Und (wie) kann ich diese Formel z.B. in EXCEL verwenden, um mit meinen Maßen Ausdrucke zu bekommen?
Von Integralen weiß ich leider auch noch nix, geschweige denn von doppelten.
Womit hast Du denn die beiden Abwicklungen hinbekommen?
Die zweite ist von der Form derjenigen am nächsten, die ich inzwischen mit aufwendigem Zeichnen, Rechnen und Basteln herausgefunden habe.
Dadurch, daß die Mantelsehne nirgends gekrümmt ist, bin ich mir sehr sicher, daß sich der Mantel immer in der Ebene abwickeln läßt!

Gruß, Volker
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 28 Mai 2005 - 12:51:32    Titel:

Hallo Ovalus,

Deine Argumentation, dass die mantelsehne nicht gekrümmt ist und daher der Mantel abwickelbar ist stimme ich zu.

Das kleine h ist ein Paramter wie der Winkel φ. Da hier eine Fläche im Raum beschreiben, brauchen wir zwei Paramter um alle Punkt in der Fläche bechreiben zu können. Das kleine h läuft hier von 0 bis H0 um den ganzen Kegel "ablaufen" zu können.

Ich hab mal angefangen das Element df zu berechnen und komme dann natürlich auf Integrale, die sich nicht integrieren lassen. Da hilft mit geringen Aufwand nur ein numerischer Ansatz.

Gezeichnet habe ich die Fläche mit einem selbstgeschriebenen Programm:

Hier der entscheidene Ausszug aus dem Programm.

Code:
      // Test elliptischer Kegel mit H0 = 10 a = 3 unb b = 5
      double H0 = 4, a=2, b=5;
      // Berechnung

      double rX0, rY0, rXi, rYi,dPhi=0, rPhi=0, rT=0;
      dPhi = 2*3.1415926536 / 100;
      for ( int i=0; i <= 100; i++)
      {
         rPhi = dPhi*i;
   
         double rRp = hypot( a*cos(rPhi), b*sin(rPhi));
         double rS = hypot( H0, rRp );
   
         if ( i==0)
         {
            rX0 = rS * sin( rT);
            rY0 = rS * cos( rT);
           
            CGrpLine MyLine;
            MyLine.Empty();
            MyLine.m_rR1 = 0;
            MyLine.m_rH1 = 0;
     
            MyLine.m_rR2 = rX0;
            MyLine.m_rH2 = rY0;
            AddLine( MyLine );
         }
         else
         {
            double dT = rRp/rS * dPhi;
            rT += dT;
            rXi = rS * sin( rT);
            rYi = rS * cos( rT);
            CGrpLine MyLine;
            MyLine.Empty();
            MyLine.m_rR1 = rX0;
            MyLine.m_rH1 = rY0;
     
            MyLine.m_rR2 = rXi;
            MyLine.m_rH2 = rYi;
     
            AddLine( MyLine );
            rX0 = rXi;
            rY0 = rYi;
         }
      }

      CGrpLine MyLine;
      MyLine.Empty();
      MyLine.m_rR1 = rX0;
      MyLine.m_rH1 = rY0;
     
      MyLine.m_rR2 = 0;
      MyLine.m_rH2 = 0;
     
      AddLine( MyLine );


Die Funktionen AddLine und die Objekte CGrpLine, kommen aus einem Grafiktool. Der Rest ist klassisches C.

Beim Zeichnen laufe ich schrittweise den Mantel ab und erhalte kleine Dreieck. Wenn man die Flächen der Dreiecke aufsummiert erhält man auch die Fläche des Mantels.

Gruß
Dirk
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