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rechtwinkliges trapez
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> rechtwinkliges trapez
 
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K
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Anmeldungsdatum: 27.05.2005
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2005 - 12:44:16    Titel: rechtwinkliges trapez

hey,
ich habe die punkte ABCD gegeben, die ein trapez bilden, nun soll ich einen punkt E berechnen, der so liegt, dass das trapez bei A und E einen rechten winkel hat. da der punkt E drei koordinaten hat brauche ich also drei bedingungen. ich kenne die höhe des trapezes und weiß das das skalarprodukt von e*a null seien muss,
komme aber nicht weiter, könnt ihr mir helfen?
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2005 - 13:03:50    Titel:

Hallo K,

Die Aufgabenstellung ist mir nicht klar. Wenn ich es richtig verstanden habe ist in Punkt A ein rechter Winkel. Also Winkel DAB = 90°. Außerdem liegt das Trapez im R³. ich kann jetzt jederzeit einen Punkt E berechnen, so dass der Winkel DAE = 90° ist. Damit hat der Punkt E aber wenig mit dem Trapez zu tun. Vielleicht kannst du ja mal den originalen Aufgabentext posten.

Gruß
Dirk
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2005 - 16:55:12    Titel: Re: rechtwinkliges trapez

Ok, das sieht jetzt viel aus, sind aber alles ganz einfache Rechnungen.

Ich behaupte einfach mal, daß BC parallel zu AD ist und daß man B durch E ersetzen soll, so daß DAE und AEC rechte Winkel bilden.

Für E=(e1|e2|e3) gilt, daß er auf der Geraden BC liegt. Dann gibt es ein r€R, so daß:
E=C+r*(B-C).
Also gilt
(e1|e2|e3)
=(c1|c2|c3)+r*((b1|b2|b3)-(c1|c2|c3))
=(c1|c2|c3)+r*(b1-c1|b2-c2|b3-c3)
=(c1|c2|c3)+r*(b1-c1|b2-c2|b3-c3)
Das ergibt drei Gleichungen: Für i€{1,2,3}
ei=ci+r*(bi-ci)

Außerdem muß noch gelten, daß AEC rechtwinklig ist, also steht AE senkrecht zu EC bzw BC:
0 = (E-A)*(B-C)'
= (e1-a1|e2-a2|e3-a3)*(b1-c1|b2-c2|b3-c3)'
= (e1-a1)(b1-c1)+(e2-a2)(b2-c2)+(e3-a3)(b3-c3)
Hier muß man die oberen drei Gleichungen verwenden:
0 = (e1-a1)(b1-c1)+(e2-a2)(b2-c2)+(e3-a3)(b3-c3) |ei einsetzen

0
= ((c1+r*(b1-c1))-a1)(b1-c1)
+ ((c2+r*(b2-c2))-a2)(b2-c2)
+ ((c3+r*(b3-c3))-a3)(b3-c3) |ausklammern

0
= b1*(c1+r*(b1-c1))-b1a1-c1*(c1+r*(b1-c1))+c1a1
+ b2*(c2+r*(b2-c2))-b2a2-c2*(c2+r*(b2-c2))+c2a2
+ b3*(c3+r*(b3-c3))-b3a3-c3*(c3+r*(b3-c3))+c3a3 |ausklammern

0
= b1c1+b1*r*(b1-c1)-b1a1-c1c1-c1*r*(b1-c1)+c1a1
+ b2c2+b2*r*(b2-c2)-b2a2-c2c2-c2*r*(b2-c2)+c2a2
+ b3c3+b3*r*(b3-c3)-b3a3-c3c3-c3*r*(b3-c3)+c3a3 |ausklammern

0
= b1c1+b1b1r-b1c1r-b1a1-c1c1-c1b1r+c1c1r+c1a1
+ b2c2+b2b2r-b2c2r-b2a2-c2c2-c2b2r+c2c2r+c2a2
+ b3c3+b3b3r-b3c3r-b3a3-c3c3-c3b3r+c3c3r+c3a3 |zusammenfassen

0
= b1c1+b1b1r-2*b1c1r-b1a1-c1c1+c1c1r+c1a1
+ b2c2+b2b2r-2*b2c2r-b2a2-c2c2+c2c2r+c2a2
+ b3c3+b3b3r-2*b3c3r-b3a3-c3c3+c3c3r+c3a3 |Terme mit r nach hinten

0
= b1c1-b1a1-c1c1+c1a1+b1b1r-2*b1c1r+c1c1r
+ b2c2-b2a2-c2c2+c2a2+b2b2r-2*b2c2r+c2c2r
+ b3c3-b3a3-c3c3+c3a3+b3b3r-2*b3c3r+c3c3r |einklammern

0
= b1c1-b1a1-c1c1+c1a1+r*(b1b1-2*b1c1+c1c1)
+ b2c2-b2a2-c2c2+c2a2+r*(b2b2-2*b2c2+c2c2)
+ b3c3-b3a3-c3c3+c3a3+r*(b3b3-2*b3c3+c3c3) |-r*(b1b1-2*b1c1+c1c1+b2b2-2*b2c2+c2c2+b3b3-2*b3c3+c3c3)

r*(2*b1c1+2*b2c2+2*b3c3-b1b1-c1c1-b2b2-c2c2-b3b3-c3c3)
= b1c1-b1a1-c1c1+c1a1
+ b2c2-b2a2-c2c2+c2a2
+ b3c3-b3a3-c3c3+c3a3 |:(2*b1c1+2*b2c2+2*b3c3-b1b1-c1c1-b2b2-c2c2-b3b3-c3c3)

r =
b1c1-b1a1-c1c1+c1a1 + b2c2-b2a2-c2c2+c2a2 + b3c3-b3a3-c3c3+c3a3
─────────────────────────────────────────────────
2*b1c1+2*b2c2+2*b3c3-b1b1-c1c1-b2b2-c2c2-b3b3-c3c3

Jetzt, da man r aus den Komponenten von A, B und C ausrechnen kann. Kann man E berechnen nach E=C+r*(B-C).
Falls sich das Trapez nicht in R³, sondern in R² befindet, fallen einfach alle Terme, die eine 3 haben aus der Rechnung raus.
K
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Anmeldungsdatum: 27.05.2005
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 29 Mai 2005 - 12:54:01    Titel:

danke hiob, ja, das trapez liegt im R3.
ich muss zugeben das die aufgabenstellung wirklich nicht so kalr von mir widergegeben wurde Embarassed
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