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Problem bei partieller Integration
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Viriditas
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Anmeldungsdatum: 10.10.2008
Beiträge: 135

BeitragVerfasst am: 06 Apr 2010 - 14:55:59    Titel: Problem bei partieller Integration

Hallo

Ich verstehe folgenden Schritt nicht:



Was passiert mit dem x im Zähler des Integrals?

Ich weiß, dass 1/(x²+1) abgeleitet ln(x²+1) ergibt, aber der Rest ist mir unschlüssig.

Danke im Voraus!
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 06 Apr 2010 - 15:01:44    Titel:

Nunja, aus der Produktregel der Differenzialrechnung folgt ja die Gleichung für die partielle Integration:

[; \int(f(x) \cdot g(x) \cdot \operatorname{dx}) = \int(f(x) \cdot \operatorname{dx}) \cdot g(x) - \int \left( \int(f(x) \cdot \operatorname{dx}) \cdot g'(x) \cdot \operatorname{dx} \right) ;]

Nun setz doch mal [; f(x) = 1 ;] und [; g(x) = \arctan(x) ;] hier ein!
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 06 Apr 2010 - 15:06:23    Titel: Re: Problem bei partieller Integration

Viriditas hat folgendes geschrieben:
Ich weiß, dass 1/(x²+1) abgeleitet ln(x²+1) ergibt

Bist du dir da sicher? Wink



Der hier angewandte Trick nennt sich logarithmische Integration. Der Term ist gleich 1/2 * (2x / (1 + x^2)), wobei der Bruch von der Form f'(x)/f(x) ist. Die Stammfunktion hierzu ist ln(|f(x)|).


http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Logarithmische_Integration
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