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Analysis Extremstellen Wendepunkte
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Nooby
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Anmeldungsdatum: 29.05.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 29 Mai 2005 - 15:39:09    Titel: Analysis Extremstellen Wendepunkte

Hallo alle zusammen

In zwei Wochen schreibe ich eine Vergleichsklausur in dem Thema Analysis. War dummerweise verdammt lange krank udn hab große lüken was jetzt dieses neue Thema betrifft.

Zum größten Teil habe ich mir alles selbst beigebracht aber jetzt bin ich bei der berechnung von Extremstellen und Wendepunkten gescheitert. Hoffe ihr könnt mir helfen.

Folgendes Problem hab ich bei den Extremstellen. ICh weiss die genaue rechenweise leider nicht und im Buch ist sie viel zu kompliziert dargestellt. was ich weiss ist :

1. zwei Ableitungen der Funktion machen
2. Notwendige Bedingung erste Ableitung x=0 setzen (aber wie???)

So dann erhalte ich doch die x werte die die möglichen extrem stellen sind. Aber weiter weiss ich nicht. Könnt ihr mir bitte helfen irgendwie den richtigen Rechenweg hinzubekommen?

Das selbe Problem habe ich mit den Wendestellen auch ..nur das ich da absolut nicht weiss wie man die berechnet und ich irgendwie aus keinen Büchern schlau werde Mad

Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet.
Thx Nooby
Carmenmaus
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Anmeldungsdatum: 21.05.2005
Beiträge: 217

BeitragVerfasst am: 29 Mai 2005 - 16:40:00    Titel:

Hallo, du machst f´(x);f´´(x);´f´´´(x)
f´(x)=0, du findest die Nullstellen z.b x1,x2
setzt in f´´(x) ein f´´(x1)
falls f´´(x1)>0 minimumStelle. Die Koordinaten des Min.(x1,f(x1))
falls f´´(x1)<0 maximumStelle.Die Koordinaten des Max(x1,f(x1))
dasselbe für x2 untersuchen.
Für Wendepunkte:
f´´(x)=0 und die Nullstellen finden z.b. x4
falls f´´´(x4)nicht gleich 0 ist, ist Punkt W(x4,f(x4)) Wendepunkt.
Hoffentlich ist einigermassen verständlich das, was ich geschrieben habe.
Liebe grüsse Carmenmaus
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 29 Mai 2005 - 17:10:25    Titel:

Hallo,

die Ausführungen von Carmenmaus sind richtig aber nicht vollständig.

Zu den Extremwerten.

f'(x) = 0 muss immer so sein.

f''(x) ≠0 Wenn das so ist, dann liegt ein Extremwert vor.
f''(x) = 0 Ist ein Sattelpunkt oder ein Extremwert. Wenn hier ein Vorzeichenwechsel vorliegt ist es ein Extremwert. Ansonsten ein Sattelpunkt.
Beispiel f(x) = x^4; f'(x) = 4x^3; f''(x) = 12x²
Nullstelle von f'(x) ist x=0. f''(0) ist aber Null. Da f'(0) aber eine Vorzeichenwechsel hat liegt hier ein Extremwert vor.

Das gleiche beim Wendepunkt.

f''(x) = 0
f'''(x) ≠0
oder
f''(x) hat ein Vorzeichenwechsel an der Nullstelle.

Ich hoffe ich habe nicht zu sehr verwirrt.

Siehe auch hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwerte
oder hier
http://www.formel-sammlung.de/formel-Kurvenuntersuchung-1-7-11.html

Gruß
Dirk
Nooby
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Anmeldungsdatum: 29.05.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 29 Mai 2005 - 22:54:02    Titel:

Danke für die schnellen Antworten aber ganz klar ist mir das bei den extrempunkten immernoch nicht. Den groben ablauf verstehe ich ja aber jetzt scheitert es daran die nullstellen irgendwie zu berechnen. Ich habe z.B. 8x^3+21x^2+10x=0
was soll ich denn damit machen um die nullstellen zu finden.
In meinem buch steht x(8x^2+21x+10)=0
und wie bekomme ich jetzt die x werte der extrempunkte?

@ DMoshage danke für die antwort aber was meinst du mti dem vorzeichenwechsel bei f´(0) ?

Danke Smile Nooby
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 00:47:44    Titel:

Hallo Nooby,

Betrachte mal die folgende Gafik


Die rote Funktion ist f(x) = x^4. Die grüne Funktion ist die erste Ableitung.
Wie man sieht hat an der Stelle x=0 die erste Ableitung eine Nullstelle und somit den Verdacht auf einen Extremwert. Die zweite Ableitung ist wie oben schon erwähnt ebenfalls Null.
Die 1.Ableitung wechselt hier von - nach +. Somit liegt ein Extremwert vor.

Zu deine Funktion f(x) = 8x^3+21x^2+10x

Hier bietet es sich an das x auszuklammern.

f(x) = x ( 8x^2 + 21 x + 10)

Diese Funktion ist dann 0 wenn x = 0 oder ( 8x^2 + 21 x + 10)=0

( 8x^2 + 21 x + 10) ist eine quadratische Gleichung und lässt sich mit der pq-Formel lösen.
8x^2 + 21 x + 10 = 0
x^2 + 21/8x + 10/8 = 0
x1,2 = -21/16 +- Wurzel( 441/256 - 10/8)
x1,2 = -21/16 +- Wurzel( 441/256 - 320/256)
x1,2 = -21/16 +- Wurzel( 121/256 )
x1,2 = -21/16 +- 11/16
x1 = -32/16 = -2
x2 = -10/16 = -0,625

Gruß
Dirk
Eddi22
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 92
Wohnort: Wriedel

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 14:01:27    Titel:

Zur besseren Übersicht solltest du dir einmal deine Funktions zeichnen. Anschließend bildest du die Ableitung und zeichnest diese ebenfalls andersfarbig in dein Koordinatensystem. Dabei stellst du fest, das die Ableitung rein zufällig genau da Nullstellen hat, an der die Ausgangsfunktion (Also die du zuerst gezeichnet hast) Extrempunkte hat. Extrempunkte sind immer bloss Hoch oder Tiefpunkte. Deshalb ist die erste Bedingung f'(x)=0 (Also das berechnen der Nullstellen der 1. Ableitung) Damit findest du mögliche Extremstellen.

In den Büchern ist immer von einer zweiten Bedingung die Rede. Mit der zweiten Bedingung: f''(x) kannst du die Extrempunkte genauer überprüfen. Du setzt einfach die Nullstellen der erste Ableitung in die zweite ein und schaust dir das Ergebnis an. Ist es größer als Null dann hast du einen Tiefpunkt. Ist es kleiner als Null dann ein Hochpunkt.


Zu den Wendepunkten: Ist im Prinzip der Punkt auf deiner Funktion an der sich die Drehrichtung ändert. D.h. Wenn du mit einem Auto auf dieser Funktion fährst, musst du das Lenkrad exakt am Wendepunkt in die andere Richtung drehen. Die Wendepunkte findet man mit Hilfe der 2. Ableitung. Wenn du diese auch einmal mit deiner Ausgangsfunktion zeichnest, dann stellst du fest, das die 2. Ableitung genau da Nullstellen hat, wo die Wendestelle in der Ausgangsfunktion ist. Daher Bedingung eins: f''(x)=0 (Also Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung)

Die zweite Bedingung ist f'''(x) ungleich 0. Das bedeutet, du setzt die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte ein. Geht das nicht, ist die dritte Ableitung sicherlich ein Zahl und somit automatisch ungleich Null. Ist die dritte Ableitung allerdings Null, so liegt kein Wendepunkt vor.

Ich hoffe, es war allgemein verständlich und ein Tip: Such dir Aufgaben und rechnen es selbst einmal durch. So 10 bis 20 mal, damit sich die Bedingungen in deinen Kopf festigen...

Übrigens, du solltest Nullstellenberechnungen noch einmal nachholen...
Nooby
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Anmeldungsdatum: 29.05.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 20:41:29    Titel:

Vielen Dank euch allen!

Ihr habt mir echt geholfen. Ich habe jetzt alles zum größten Teil verstanden und werde mich jetzt an einpaar Aufgaben setzen. Melde mich sobald wieder etwas nciht klappt

THX euch allen Very Happy
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