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Jacobi-Matrix
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franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 29 Mai 2005 - 23:37:40    Titel: Jacobi-Matrix

Guten Abend euch!

Ich habe mir mal paar Übungsaufgaben angeschaut wo es ums Beweisen geht. Sie kommen zwar in einem großen/schweren Umfang zwar in der Klausur nicht dran, aber dieser ist sicher wichtig.
Vielleicht kann mir jemand zeigen wie das funktioniert.

Sei f: R^n --> R^n eine differenzierbare Abbildung.
Existiert eine differenzierbare Abbildung g: R^n --> R mit den Eigenschaften:
a) g hat keine kritischen Punkte
b) (g o f)(x)=0, alle x sind in R^n

dann ist die Determinante der Jacobi-Matrix von f identisch Null.

Ich habe hier Schwierigkeiten die Bedingungen (mit denen man die Aufgabe ja sicher nur lösen kann) umzusetzen.

Vielen Dank aber für das Lesen!
the4
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Anmeldungsdatum: 27.05.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 12:21:35    Titel:

Hi,

mal son eine kleine Lsg Idee.

Also da g diffbar und keine grad(g)!=0 --> g eingeschraenkt auf einen 1-dimesionalen Unterraum von R^n ist bijektiv. Waere det J(f(x)) != 0 dann waere f um x in eine Gebiet ebenfalls bijektiv hier ist das Gebiet wieder ganz R^n.
Das fuehrt aber zu einem Widerspruch, da ja g nicht identisch null sein kann!
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 14:28:07    Titel:

hallo,

wegen der diffb kann man die kettenregel benutzen

g(f(x)) := (g o f)(x)

und g(f(x)) = 0 für alle x € R^n.

(g(f(x)))' = (dg/df)*f'

da g keine kritischen punkte hat, bleibt nur f' übrig.

grüße
m
franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 15:56:37    Titel:

Danke euch beiden!

@maerchenkoenig

Wenn f' bleibt folgert man einfach daraus dass das gleich 0 ist?!

@the4

Was meinst du mit grad(g)!=0 ?? Also speziell "grad" ?
the4
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Anmeldungsdatum: 27.05.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2005 - 08:32:51    Titel:

grad meint den Gradienten der Funktion, also der Zeilenvektor bestehend aus den Ableitungen nach den einzelnen Komponenten des Vektors im Urbildraum der Funktion. Der Gradient entspricht f' fuer f:R->R.

Mit "!=" meine ich ungleich
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2005 - 08:52:45    Titel:

hallo,

keine kritischen punkte heißt:

grad(g(x)) != 0

grad ist die richtungableitung. wenn g: R^n -> R und h ein vektor aus R^n, dann gilt:

g(x+h)-g(x) = h*grad(g(x+epsilon*h)).

grad != 0 bedeutet deshalb: die richtungsableitung von g verschwindet an keiner stelle.

jetzt ist f(x) := (f1(x1,...,xn),...,fn(x1,...,xn))^T und

g(x) := g(x1,...,xn)

u(x) := g(f(x))= g(f1(x),...,fn(x))

=> u' = (du/dx1,...,du/dxn) (partielle ableitungen)

= (dg(f1(x),...,fn(x))/dx1,....,dg(f1(x),...,fn(x))/dxn)

= ((dg/d1,...,dg/dn)(df1/dx1,...,dfn/dxn)^t,.....)

und das ist vektor mal Matrix g'*F'. der ausdruck muß überall verschwinden, weil ja g(f(x)) = 0 ist für alle x.

grüße
m
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