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Parallelschaltung komplexer Wechselstromwiderstände
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Foren-Übersicht -> Ingenieurwissenschaften -> Parallelschaltung komplexer Wechselstromwiderstände
 
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Gulper
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Anmeldungsdatum: 21.04.2010
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2010 - 06:45:46    Titel: Parallelschaltung komplexer Wechselstromwiderstände

Hallo,
ich habe da für mich ein Problem.
Wie kann ich in reeler Rechnung oder in rechtwinkliger komplexer Darstellung die Gesamtimpedanz der Parallelschaltung zweier (oder mehrerer) Wechselstromwiderstände berechnen?
Für die Reihenschaltung ist das bekannt, für die Parallleschaltung aus Ohmschen Widerstand und Kondensator kriege ich das auch hin (rechtwinklig). Aber wie sieht das bei zwei beliebigen Wechselstromwiderständen aus?
Die Polardarstellung soll explizit vermeiden werden.

Über eine Hilfe würde ich mich freuen.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2010 - 08:50:44    Titel: Parallel-Impedanz

[; \underl{Z} \ = \ \frac{1}{\frac{1}{\underl{Z}_1}+\frac{1}{\underl{Z}_2}} ;]
[;R + \mathrm{j}\cdot X \ = \ \frac{1}{\frac{1}{R_1+\mathrm{j}\cdot X_1}+\frac{1}{R_2+\mathrm{j}\cdot X_2}} ;]
Mehrfache Anwendung von [; \frac{1}{\underl{z}} \ = \ \frac{\overl{\underl{z}}}{|\underl{z}|^2} ;].
[; R + \mathrm{j}\cdot X \ = \ \frac{1}{\frac{R_1-\mathrm{j}\cdot X_1}{{R_1}^2+{X_1}^2}+\frac{R_2-\mathrm{j}\cdot X_2}{{R_2}^2+{X_2}^2}} ;]
[; R + \mathrm{j}\cdot X \ = \ \frac{1}{
\frac{R_1}{{R_1}^2+{X_1}^2}
+\frac{R_2}{{R_2}^2+{X_2}^2}
-\mathrm{j}\cdot (\frac{X_1}{{R_1}^2+{X_1}^2} +\frac{X_2}{{R_2}^2+{X_2}^2})} ;]
[; R = \ \frac{ \frac{R_1}{{R_1}^2+{X_1}^2}+\frac{R_2}{{R_2}^2+{X_2}^2}
}{
(\frac{R_1}{{R_1}^2+{X_1}^2}+\frac{R_2}{{R_2}^2+{X_2}^2})^2
+(\frac{X_1}{{R_1}^2+{X_1}^2} +\frac{X_2}{{R_2}^2+{X_2}^2})^2} ;],[; X = \ \frac{ \frac{X_1}{{R_1}^2+{X_1}^2} +\frac{X_2}{{R_2}^2+{X_2}^2}
}{
(\frac{R_1}{{R_1}^2+{X_1}^2}+\frac{R_2}{{R_2}^2+{X_2}^2})^2
+(\frac{X_1}{{R_1}^2+{X_1}^2} +\frac{X_2}{{R_2}^2+{X_2}^2})^2} ;].

EDIT [23:38]: Wie GvC erwähnte, sollten die beiden Brüche noch durch Erweiterung mit [; (\overbrace{{R_1}^2+ {X_1}^2}^{{Z_1}^2})^2 \cdot (\overbrace{{R_2}^2+ {X_2}^2}^{{Z_2}^2})^2 ;] entschachtelt werden.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 21 Apr 2010 - 23:57:31, insgesamt 5-mal bearbeitet
GvC
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Anmeldungsdatum: 16.02.2009
Beiträge: 3488

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2010 - 11:32:08    Titel:

Das sieht alle sehr kompliziert aus, besonders wegen der Doppelbrüche. Das lässt sich vermeiden, wenn man die aus der Gleichstromtechnik bekannte Formel
[; \underline{Z}=\frac{\underline{Z_1}\underline{Z_2}}{\underline{Z_1}+\underline{Z_2}} ;]
verwendet und für die Impedanzen einsetzt
[; \underline{Z_1} = R_1+jX_1 ;]
[; \underline{Z_2} = R_2+jX_2 ;]
Das wird zwar nicht viel weniger kompliziert, ist aber übersichtlicher. Noch einfacher wird es, wenn Zahlenwerte gegeben sind. Dann kann man sich im Zuge der Berechnug die Erweiterung mit dem konjugiert komplexen Ausdruck des Nenners sparen und rechnet nur mit Hilfe der komplexen Rechenregeln: Multiplikation zweier komplexer Größen sinnvollerweise in exponentieller Darstellung; Addition komplexer Größen sinnvollerweise in kartesischer Darstellung. Bei gegebenen Zahlenwerten lassen sich die komplexen Widerstände leicht von der einen in die andere Form überführen:
[; \underline{Z} = R + jX = Z\cdot e^{j\varphi} ;]
mit
[; Z = \sqrt{R^2+X^2} ;]
und
[; \varphi = arctan\frac{X}{R} ;]
Dann ergibt sich nämlich
[; \underline{Z} = \frac{\underline{Z_1}\underline{Z_2}}{\underline{Z_1}+\underline{Z_2}} = \frac{Z_1Z_2e^{j(\varphi_1+\varphi_2)}}{R_1+R_2+j(X_1+X_2)} ;]
Bei gegebenen Zahlenwerten lässt sich der Nenner leicht in die exponentielle Form bringen und der Bruch dann in exponentieller Form ausrechnen. Das Ergebnis lässt sich dann, falls erforderlich, wieder in kartesische Form umwandeln.

EDIT: Hier hat jemand ohne Rücksprache mit mir alle Unterstriche durch Vektorpfeile ersetzt. Das musste ich wieder rückgängig machen. Denn in der Elektrotechnik werden komplexe Größen durch unterstrichene Großbuchstaben gekennzeichnet. Ich hoffe, das wird jetzt nicht wieder selbstherrlich geändert.
Edit isi1: Das war leider ich, da sich nicht alle Formeln abbilden ließen - und ich dachte zunächst, es läge am \underline. Smile


Zuletzt bearbeitet von GvC am 21 Apr 2010 - 12:11:30, insgesamt einmal bearbeitet
isi1
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BeitragVerfasst am: 21 Apr 2010 - 12:02:29    Titel: Re: Parallelschaltung komplexer Wechselstromwiderstände

Gulper hat folgendes geschrieben:
Die Polardarstellung soll explizit vermeiden werden.
Um es wirklich zu verstehen, Gulper, wird man diese komplizierten Rechnungen einmal durchführen.
In der Praxis gibt man GvCs erste Formel in den TR ein (auch Wurzeln wird man wohl nicht von Hand ziehen).
Entweder als Formel
p(x,y)=x*y/(x+y), dann schreibt man nur noch p(x1+iy1,x2+jiy2)
oder, wenn programmierbare TRs nicht zugelassen sind
eben je nach TR etwas umständlicher.
GvC
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Beiträge: 3488

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2010 - 12:16:00    Titel:

Gulper hat folgendes geschrieben:
Die Polardarstellung soll explizit vermeiden werden.


Das hatte ich allerdings übersehen. Dann sollte man sich an die Darstellung von xeraniad halten, allerdings unter Vermeidung von Doppelbrüchen (siehe meinen letzten Beitrag).
isi1
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BeitragVerfasst am: 21 Apr 2010 - 15:18:37    Titel:

@GvC: Wo steht das (DIN1303,DIN1338,DIN5473?), mit den unterstichenen Vektoren? Ich habe es zwar schon oft (im Forum) gesehen, dachte aber, es läge am BBCCode für unterstreichen.
Gulper
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BeitragVerfasst am: 21 Apr 2010 - 17:35:23    Titel: Danke

Hi
Danke für die Antworten.
Leider konnte ich mit den Codes nur begrenzt was anfangen.
Habe in dan FAQ keine Antwort gefunden, liegt das evtl an meinen Profileinstellungen? (HTML und BBC sind aktiviert)

Habe mir daher die Formeln selber herausschreiben, das hat dann geholfen mehr zu lernen. Ist ja eigentlich ganz einfach, wenn man daran denkt.
Nur bei der Winkelberechnung muss ich aufpassen. Die Übungsaufgaben habe ich aber schon mal hinbekommen.
Habe mich jetzt tatsächlich für einen weiteren Taschenrechner entschieden.
Der Casio FX 991 ES ist günstig, nicht programmierbar und rechnet auch voll komplex (mit Polardarstellung).
Vielen Dank an alle für die Erleuchtung.
GvC
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Anmeldungsdatum: 16.02.2009
Beiträge: 3488

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2010 - 14:16:18    Titel:

isi1 hat folgendes geschrieben:
@GvC: Wo steht das (DIN1303,DIN1338,DIN5473?), mit den unterstichenen Vektoren?


Soweit ich weiß, steht das in DIN 5475. Allerdings sind das keine unterstrichenen Vektoren, sondern unterstrichene Großbuchstaben für Effektivwertzeiger bzw. unterstrichene Kleinbuchstaben für Scheitelwertzeiger. Im Übrigen beruht mein Hinweis nicht auf DIN, sondern auf jedem, aber auch wirklich jedem (seriösen) Lehrbuch der Elektrotechnik. Selbst wenn es nicht in der DIN stehen sollte, ist die genannte Schreibweise zumindest in Deutschland seit den 70-er Jahren allgemein üblich, seit jener Zeit nämlich (irgendwann zwischen 1971 und 1973), als die Verwendung von Sütterlin-Buchstaben (bei Handschrift) bzw. Frakturbuchstaben (in Druckform) abgeschafft wurde. Seit jener Zeit wird auch zwischen Vektoren (Pfeil-Überstrich) und Zeigern (gerader Unterstrich) in der Schreibweise unterschieden. Davor waren Vektoren und Zeiger in ihrer Schreibweise nicht zu unterscheiden.
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7380
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BeitragVerfasst am: 22 Apr 2010 - 15:39:36    Titel:

Aha, GvC, vielen Dank, da habe ich wieder was gelernt. Tatsächlich, in zweien meiner E-Technikbücher machen die es genau so wie Du sagst.
urus
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Anmeldungsdatum: 08.02.2010
Beiträge: 87

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2010 - 17:04:47    Titel:

machs mittem smith chart!
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