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Bogenlänge
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Mocke1
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Anmeldungsdatum: 22.04.2010
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2010 - 19:51:02    Titel: Bogenlänge

Hallo, ich habe im Moment die selbe Aufgabe vor mir wie jemand bereits zuvor in diesem Thread:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/142498,0.html
Ich habe bereits eine Funktion gefunden durch Gleichungssysteme, die alle 3 Bedingungen erfüllt.
f(x)= Pi/2 * sin(Pi * x)

Nur hab ich jetzt nur eine Funktion gefunden. Es muss ja mehrere geben, sonst würde die Aufgabe, diejenige mit kürzester Bogenlänge zu finden, sinnlos sein.

Es gibt die Lösungsformel für Bogenlängen:
s= Integral[a,b](Sqrt(1+f'(x)^2))
Wie mache ich jetzt weiter?

Bitte um Hilfe
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8278
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2010 - 21:33:03    Titel:

Das ist eine Aufgabe der Variationsrechnung: Du mußt s minimieren, indem Du f variierst.

Zu erklären, wie das geht, würde hier zu weit führen. Aber das Internet ist auskunftsfreudig.

Gruß, mike
Listing
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Anmeldungsdatum: 08.01.2007
Beiträge: 462

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2010 - 23:40:57    Titel: Re: Bogenlänge

Mocke1 hat folgendes geschrieben:
Hallo, ich habe im Moment die selbe Aufgabe vor mir wie jemand bereits zuvor in diesem Thread:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/142498,0.html
Ich habe bereits eine Funktion gefunden durch Gleichungssysteme, die alle 3 Bedingungen erfüllt.
f(x)= Pi/2 * sin(Pi * x)

Nur hab ich jetzt nur eine Funktion gefunden. Es muss ja mehrere geben, sonst würde die Aufgabe, diejenige mit kürzester Bogenlänge zu finden, sinnlos sein.

Es gibt die Lösungsformel für Bogenlängen:
s= Integral[a,b](Sqrt(1+f'(x)^2))
Wie mache ich jetzt weiter?

Bitte um Hilfe

Jetzt kannst du mal ausrechnen was für deine Funktion als Länge rauskommt



Hier deine Funktion einsetzen:


Das Integral würde ich allerdings nur mit dem Taschenrechner näherungsweise berechnen, symbolisches Integrieren würde hier auf elliptische Funktionen führen...

Aber mit irgendwelchen Vorschlägen kommen wir schlecht weiter,
gucken wir uns doch mal die Extremfälle an:


Und hoppla, da fällt uns direkt wieder ein, dass ein Kreis das optimale Verhältnis zwischen Umfang und Flächeninhalt hat!

Die Funktionsgleichung der schwarzen Funktion darfst du jetzt selbst bestimmen Laughing
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