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zentrum einer gruppe
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Aineias
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Anmeldungsdatum: 02.12.2008
Beiträge: 64

BeitragVerfasst am: 23 Apr 2010 - 10:48:30    Titel: zentrum einer gruppe

Sei G eine Gruppe. Das Zentrum Z(G) ist definiert als Menge aller g aus G für die gilt: gh=hg für alle h aus G

Zeigen Sie, dass G abelsch ist, sofern G/Z zyklisch ist.


Ist G abelsch, so ist offensichtlich Z(G)=G und umgekehrt...

Das heißt, dass G/Z einelementig sein muss. Kann es nicht zykilsch sein, wenn es mehr als ein Element hat? Muss wohl...
Doch wie zeige ich das?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 23 Apr 2010 - 11:39:37    Titel:

Hallo!

Wir wollen die Summe a+b von Gruppenelementen aus G betrachten und zeigen, dass sie b+a ist. Wenn min. einer der beiden schon im Zentrum liegt, ist die Sache klar.

Sei dem also nicht so. Was kannst du dann über das Element [a] aus G/Z sagen (uner Berücksichtigung, dass dies eine zyklische Gruppe ist)? Und was dann damit zu [b]?

Nutze dieses wissen, um Aussagen über [a+b] zu machen. Beachte dabei, dass zwei Elemente aus G genau dann in der gleichen Äquivalenzklasse modulo Z liegen, wenn sie sich nur durch ein Element aus Z unterscheiden.


Cyrix
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