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Massenschwinger
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Foren-Übersicht -> Ingenieurwissenschaften -> Massenschwinger
 
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s!mon
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 87

BeitragVerfasst am: 23 Apr 2010 - 15:48:52    Titel: Massenschwinger

Hi,

ich bräuchte mal die Formel von einem Schwinger mit 3 Massen, die über 2 Federn verbunden sind.

Also das "Schaltbild" sieht quasi so aus:

o-o-o

Wobei o die Massen (Waggons) sind und die - zwei Federn mit gegebenen Steifigkeiten. Die Bewegungen auf der X-Achse sind q1, q2 und q3 genannt worden und zeigen alle nach rechts. Hilft ein Maschinenbauer einem Etechniker der von Mechanik keine Ahnung hat Smile?

Hier mal das was ich versucht habe:

M1: m1*q1''(t) = k1(q2(t) - q1(t))
M2: m2*q2''(t) = k2(q3(t) - q2(t)) - k1(q2(t) -q1(t))
M3: m3*q3''(t) = -k2(q3(t) - q2(t))

Das ineinander eingesetzt und dann bekomme ich:
m1*q1''(t) + m2*q2''(t) + m3*q3''(t) = 0

Was stimmt daran nicht? Kann ja nicht sein, dass die Federkonstanten nicht mehr auftauchen.

ciao, Simon.
Darkviral
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Anmeldungsdatum: 26.03.2010
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 23 Apr 2010 - 17:14:19    Titel:

Grüße,

wenn ich das richtig sehe hast du versucht das Problem mit D'Alembert zu lösen. Das müsste zwar funktionieren aber ich glaube über die Lagrangeschen Gleichungen sollte es einfacher sein. Hab das mal schnell durchgerechnet, Fehler sind natürlich nicht ausgeschlossen Smile . Das Ergbnis siehst du hier



Dabei ist c - die Federkonstante und x - die Bewegungskoordinate. Du bekommst auf jeden Fall für dieses Problem 3 Bewegungsgleichungen die du nicht zusammenfassen kannst. Da sollte auch dein Fehler liegen.

Gruß
s!mon
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 87

BeitragVerfasst am: 23 Apr 2010 - 19:06:33    Titel:

Das sind ja bis auf ein paar andere Vorzeichen meine Gleichungen. Wieso darf man die denn nicht ineinander einsetzen? Müsste bei deiner Gleichung nicht zum Beispiel vor dem c1 ein Minus stehen? Meine Lösung habe ich aus einer Aufgabe zu einem 2-Massen-Schwinger aus einer alten Regelungstechnik-Klausur. Wenn ich das dort umstelle komme ich auch auf ein Minus vor deinem c1.
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 23 Apr 2010 - 19:45:30    Titel:

s!mon hat folgendes geschrieben:
Wieso darf man die denn nicht ineinander einsetzen?
Wenn du die 3 Gleichungen addierst, erhälst du "rechts" die Gesamtkraft F = m·a, die auf das System wirkt. Und die ist ja 0.

s!mon hat folgendes geschrieben:
Müsste bei deiner Gleichung nicht zum Beispiel vor dem c1 ein Minus stehen?

... das frage ich mich auch Wink
Darkviral
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Anmeldungsdatum: 26.03.2010
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 23 Apr 2010 - 20:28:44    Titel:

Ja das kann durchaus sein das ich da ein Minus vergessen hab. War halt wirklich nur schnell mal durchgerechnet. Du hast recht die Gleichungen sind gleich. Ich hab mich davon täuschen lassen das du die Gleichungen zusammen gefügt hast und dann nicht mein Ergebnis mit deinem verglichen.

Tut mir leid wenn ich dich mehr verwirrt als dir geholfen habe Very Happy . Hab die Problemstellung irgendwie falsch verstanden,

Gruß
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 23 Apr 2010 - 21:04:18    Titel:

Ich sitz grad an einer Aufgabe, die exakt genauso beginnt (Zufall...?), die DGLs hatte ich ganuso wie "s!mon" aufgestellt. Dann kann man dieses System ja zu einer Gleichung

[; 0 = \begin{pmatrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0 & m_2 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{pmatrix} \ddot q + \begin{pmatrix} k_1 & -k_1 & 0 \\ -k_1 & k_1 + k_2 & -k_2 \\ 0 & -k_2 & k_2 \end{pmatrix} q ;]
zusammenfassen.

Nun soll ich die Bewegungs-DGL mit Hilfe des Lösungsansatzes [; q(t) = \hat q e^{\omega t} ;] in die Form des allgemeinen Eigenwertproblems
[; A x = \lambda B x ;]
bringen und eine geeignete Substitution für [; \omega ;] finden.

[; q(t) ;] in die DGL einzusetzen ist einfach, aber ich versteh absolut nicht, wie ich dann vorgehen kann, um die Matrizen A und B sowie den Eigenvektor/-wert x und λ zu bestimmen. Bisher habe ich eine Aufgabe noch nie über diesen Weg gelöst. Kann mir das jmd. bitte erklären.

Gruß
ingu
Darkviral
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Anmeldungsdatum: 26.03.2010
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2010 - 10:12:55    Titel:

Grüße,

ich versuch es nochmal - vielleicht gelinkt es mir diesmal besser zu helfen Very Happy . Also wenn ich dich richtig verstehe möchtest du jetzt zu diesem Problem die Eigenkreisfrequenzen berechnen - richtig?

Dazu nimmst du den von dir erwähnten Ansatz { x(i)=lamda(i) *exp(omega t) } (mit "i" als Zählindex), leitest ihn zweimal nach der Zeit ab (für jedes x(i) ) und ersetzt damit x und alle seine Ableitungen. Ich denkemal soweit war das klar.

Was ich noch nicht verstehe ist warum ihr immer aus dem Gleichungssystem eine Gleichungen machen wollt? Dies ist auch für die Eigenkreisfrequenz nicht nötig. Auf jeden Fall klammerst du dann { exp(omega t) } aus allen Gleichungen wieder aus und erhaltet 3 Gleichungen die nur noch omega und lambda(i) enthalten. Daraus bildest du die Koeffizientendeterminate (detA=0) und setzt sie Null (Matrixsystem der Form {A * Lambda = 0}). Da müsste dann eine Gleichung mit Omega^6 rauskommen die löst du und erhältst die drei Eigenkreisfrequenzen des Systems.

Hoffe diesmal ist es mir besser geglückt zu helfen.

Gruß
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2010 - 14:20:30    Titel:

hallo Darkviral,

vielen Dank für deine Antwort! Hier ist mal meine Rechnung, es wäre lieb, wenn du nochmal drüber gucken könntest, ob ich das richtig verstanden habe.

Dass ich aus dem Gleichungssystem eine Matrix-Gleichung gemacht habe, hat den Grund, dass ich damit anschließend in Matlab weiterrechnen möchte und dafür brauche ich ja dann die Matrizen.

[; 0 = \underbrace{\begin{pmatrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0 & m_2 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{pmatrix}}_{:= M} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3\end{pmatrix} \omega^2 + \underbrace{\begin{pmatrix} k_1 & -k_1 & 0 \\ -k_1 & k_1 + k_2 & -k_2 \\ 0 & -k_2 & k_2 \end{pmatrix}}_{:= K} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3\end{pmatrix} = \left(M \cdot \omega^2 + K\right) \vec \lambda ;]

Die Eigenfrequenzen [; \omega_i ;] würde ich dann durch die Gleichung
[; \left|M \cdot \omega^2 + K\right| = 0;]
erhalten(?)
Wobei diese Werte ja i. A. komplex sind, sodass der Imaginärteil die eigentliche Frequenz und der Realteil meine Dämpfung bestimmt. Wobei es in diesem Bsp. ja keine Dämpfung gibt, sodass der Realteil 0 ist (was auch zur Rechnung passt).

Soweit die Theorie dahinter. Wenn ich das dann in Matlab lösen will, könnte ich das doch dann über
Code:
[X, E] = polyeig(K, 0, M)
berechnen lassen, nicht wahr?

Vielen Dank im Voraus für eine Bestätigung oder Korrektur!
Darkviral
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Anmeldungsdatum: 26.03.2010
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2010 - 15:19:00    Titel:

Grüß dich,

als erstes muss ich mich schon wieder entschuldigen Sad - mir ist in meinem letzen Beitrag schon wieder ein Fehler unterlaufen der mit jetzt erst mit deiner Frage aufgefallen ist.



Wie du im Bild siehst hab ich ein "i" (Imaginäre Zahl) vergessen bei x=lambda*exp(i*omega*t). Tut mit leid. Zum erhalten der Eigenkreisfrequenzen musst du dann wie im Bild beschrieben vorgehen. Du hast übrings recht wenn du die Lambdas berechnen würdest, würdest du eine Imaginäre Lösung erhalten was ja physikalisch bedeutet, dass das System schwingt.

Wie du das dann in Matlab berechnest kann ich dir leider nicht sagen, da ich noch recht wenig Erfahrung im Umgang mit Matlab habe. Nebenbei bemerkt ich hab die Matrix jetzt nur schnell im Kopf aufgestellt und da du ja bereits bemerkt hast das mir öfter mal ein Fehler unterläuft überprüfe sie am besten nochmal.

Grüße
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2010 - 16:30:53    Titel:

Wenn ich jetzt das LGS nehme, dass du in dem obigen Thread unter dem Diagramm angegeben hast, erhalte ich für das Element (1, 1) [; -m_1 \omega^2 - c_1 ;] und für das Element (2, 1) [; +c_1 ;] statt [; -c_2 ;]. Ist das richtig?

Wie dem auch sei unterscheiden sich unsere Lösungen ganz prinzipiell durch die Vorzeichen in der K- bzw. C-Matrix. Und das Problem beginnt eigentlich beim Aufstellen der Gleichung:

Deine Gleichungen waren ja
[;\begin{align*}
m_1 \ddot x_1 + c_1 \left(x_2 - x_1\right) &= 0 \\
m_2 \ddot x_2 + c_1 \left(x_1 - x_2\right) + c_2 \left(x_3 - x_2\right) &= 0 \\
m_3 \ddot x_3 + c_2 \left(x_2 - x_3\right) &= 0
\end{align*} ;]

Ich hätte jetzt gedacht, dass bei [; F = m \ddot x ;] sowohl [; F ;] als auch [; \ddot x ;] in x-Richtung positiv gezählt würden. Daraus würde sich dann folgendes ergeben:
[;\begin{align*}
m_1 \ddot x_1 {\color{red}-} c_1 \left(x_2 - x_1\right) &= 0 \\
m_2 \ddot x_2 + c_1 \left({\color{red}x_2 - x_1}\right) {\color{red}-} c_2 \left(x_3 - x_2\right) &= 0 \\
m_3 \ddot x_3 + c_2 \left({\color{red}x_3 - x_2}\right) &= 0
\end{align*} ;]

Wie müssen die Vorzeichen korrekt heißen?
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