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Massenschwinger
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Darkviral
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Anmeldungsdatum: 26.03.2010
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2010 - 17:46:20    Titel:

Zitat:
Ich hätte jetzt gedacht, dass bei [; F = m \ddot x ;] sowohl [; F ;] als auch [; \ddot x ;] in x-Richtung positiv gezählt würden.


Um das Gleichungssystem wie in der Statik durch das Nullsetzen vom Kräfte- und Momentengleichgewicht zu erhalten, muss die D'Alembertsche Trägheitskraft m*x'' (also Masse mal der Beschleunigung) entgegengesetzt der Bewegung angetragen werden. Wenn ich deine Aussagen oben richtig verstehe so hast du dies nicht beachtet - das könnte die Vorzeichenprobleme begründen.

Was mein Posting von vorhin angeht so habe ich da eure Gleichungen verwendet da ich davon ausgegangen war das ihr euch sicher seit und ich meine Rechnung nicht nochmal überprüft habe. So wie ich das jetzt verstehe ist dies aber nicht der Fall. Also überprüfe bitte nochmal deine Gleichungen unter Beachtung des richtigen Antrages der D'Alembertschen Trägheitskraft. Sollte wir dann immer noch nicht einer Meinung sein dann überprüfe ich nochmal meine komplette Rechnung ob ich einen Fehler finde. Was auch noch zu beachtet ist, ist das ich angenommen habe, dass

x1 < x2 < x3

ist. Also das die Masse 3 die größte Bewegung macht. Damit ergibt sich, dass für die erste Federkraft gilt (c1/2)*(x2-x1)^2 und für die zweite (c2/2)*(x3-x2)^2. Dies waren meine Ansätze, mit denen ich die Bewegungsgleichungen ermittelt habe.

Gruß
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 26 Apr 2010 - 20:52:04    Titel:

So, inzwischen hab ich die Lösung und für den Fall, dass sich andere nochmal hierhin verirren, werde ich sie noch kurz beschreiben.

Demnach ist die Gleichung
[; 0 = \underbrace{\begin{pmatrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0 & m_2 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{pmatrix}}_{:= M} \begin{pmatrix} \ddot q_1 \\ \ddot q_2 \\ \ddot q_3\end{pmatrix} + \underbrace{\begin{pmatrix} k_1 & -k_1 & 0 \\ -k_1 & k_1 + k_2 & -k_2 \\ 0 & -k_2 & k_2 \end{pmatrix}}_{:= K} \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3\end{pmatrix} = M \cdot \ddot q + K \cdot q ;]
korrekt.

Setzt man nun [; q(t) = \hat q e^{\omega t} ;] ein, so erhält man
[; 0 = \omega^2 M q + K q ;].

Um auf die Form des allg. Eigenwertproblems
[; A x = \lambda B x ;]
zu kommen, substituiert man einfach nur
[; \lambda := -\omega^2 \text{ mit } A = K, B = M, x = q ;].

Oder auch in der Form des speziellen Eigenwertproblems
[; \underbrace{M^{-1}K}_{A} q = \lambda q ;]

Die mechanische Eigenfrequenz des Systems ergibt sich dann durch die Eigenwerte [; \lambda_i ;] von [; A ;] zu [; \omega_i = -\sqrt{\lambda_i} ;].

Wer es in Matlab lösen will, kann entweder die Eigenwerte wie beschrieben berechnen oder mit dem oben angegebene Befehl "polyeig" arbeiten, was zum gleichen Ergebnis führt.

Gruß
ingu
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