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Lösen inhomogener DGL keine sinnvolle Lösung
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ghost_kill3r
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Anmeldungsdatum: 23.04.2010
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 23 Apr 2010 - 16:45:52    Titel: Lösen inhomogener DGL keine sinnvolle Lösung

Hallo,

habe hier eine inhomogene DHL 1. Ordnung, hatten gerade erst 2 Vorlesungen und komm auf kein sinnvolles Ergebnis bei folgendem Problem:
Es Soll eine Eisenstange in einen Ofen gelegt werden, wobei die Temp des Ofens xo sei.
Sei y(t)=Temperatur abh von Zeit t und k eine konstante.

Die DGl sei so gegeben.

dy/dt=k(xo-y)

(Das wird ja wenn der Ofen warm ist eine expoentialkurve mit Sättigung bei xo sein oder sehe ich das falsch? der Faktor k gibt ja eigtl nur die Streckung/Stauchung an. Also exponentiell degressiv mit Asymptotischer Näherung an xo!?

Naja erstma meine Rechnung Habe das in homogen und inhomogen aufgesplittet:

<-> y´+ky=0 wäre die homogene
<-> y´/y =-k
<-> lny =-kt+ ln c
<-> ln(y/c)=-kt
<-> y/c= e^(-kt)
<-> y= e^(-kt)*c

So das wäre meine homogene Lösung?! Hoffe ich habe nichts falsch gemacht. Dann die inhomogene
y= e^(-kt)*c(t)

Das in die DGL eingesetzt:

c´(t)*e^(-kt)-k*k(t)*e^(-kt)=k*(x0-k(t)*e^(-kt))
nach ein paar umformungsschritten sieht das dann so aus:
k´(t)=k(t)*xo*e^(kt)


.....irgendwas ist daran merkwürig oder?
W.Kaiser
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Anmeldungsdatum: 09.01.2006
Beiträge: 1623
Wohnort: BGL

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2010 - 10:22:43    Titel:

Zu:

„Die DGl sei so gegeben.

dy/dt=k(xo-y)

(Das wird ja wenn der Ofen warm ist eine expoentialkurve mit Sättigung bei xo sein oder sehe ich das falsch? der Faktor k gibt ja eigtl nur die Streckung/Stauchung an. Also exponentiell degressiv mit Asymptotischer Näherung an xo!? „

Deine Interpretation stimmt.

Das ist eine einfache separierbare DG mit den Konstanten k und xo.

dy/dt=k(xo-y)

[1/(xo-y)]*dy = k*dt

Integral[1/(xo-y)]dy = k*Integral(1)dt + C

weiter:
- Integrieren
- Auflösen nach y
- Man merkt, dass nun die Integrationskonstante stört. Sie muss jetzt ausgerechnet werden. Die Situation bei t = 0 betrachten hilft oft, aber dazu fehlt eine Angabe. Welche Temperatur hat die Eisenstange zur Zeit t = 0?

So könnte es gehen.

Dann vergleiche, wo Unterschiede zu deinem Lösungsweg bestehen.


Mit freundlichen Grüßen

W. Kaiser
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8125
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2010 - 15:20:34    Titel:

Du bekommst deshalb ein merkwürdiges Ergebnis, weil Du aus dem Auge verlierst, daß Du c(t) bestimmen willst. Stattdessen behandelst Du die Konstante k plötzlich als zeitabhängige Funktion, bildest die Ableitung usw.

Gruß, mike
ghost_kill3r
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Anmeldungsdatum: 23.04.2010
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2010 - 18:34:17    Titel:

Vielen Dank für eure Mithilfe,

ok habe wohl die angabe vergessen Anfangswert ist y(0)=yo bringt mich aber auch nicht so richtig weiter, dann komme ich irgenwie drauf dass xo=0 ist aber das macht ja mal überhaupt kein sinn, da der Ofen ja wohl keine 0C hat^^.

Zu der Aussage dass ich c wie eine Variable behandele. Das haben wir im Tutorium auch so gemacht. Ging da um ne Bernoulli DGL. Wenn ich jetzt also die inhomogene Lsg haben will haben wir da auch nach der Produktregel abgeleitet. Und die Konstante war merkwürigerweise auch von einer Variablen abhängig. Hm hätte lieber gleich im Tutorium fragen sollen.

Naja falls ihr noch weiter wisst mit der obigen Bedingung wäre ich dankbar ansonsten tüftel ich noch mit nem Kollegen dran.

Schönes We noch
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8125
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2010 - 18:42:24    Titel:

c als Variable zu behandeln ist o.k., aber nicht k, wie Du es gemacht hast.

Gruß, mike
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