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Kurvenscharen
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BLaKatZe
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 15:56:09    Titel: Kurvenscharen

hi erstmal!!!

bin am verzweifeln !!
hab heute eine aufgabe in mathe bekommen die ich lösen soll und dann im unterricht vor der klasse erklären muss (rechenweg,wie ich das gemacht habe usw.) war lange zeit krank und habe von kurvenscharen nicht viel mitbekommen!!die zensur die ich dafür bekomme ist aber ziemlich wichtig!!!

also hier erstmal die aufgabe :

gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=1/2x^4-ax^2 (a>0)

a)Diskutieren sie die Kurvenschar allgemein

b) Bestimmen sie die Ortskurve der Tiefpunkte

c) Bestimmen sie die Ortskurve der Wendepunkte.


wäre echt nett wenn ihr mir helfen könntet
danke schon mal im vorraus
ich werde natürlich mich in der zeit damit beschäftigen!!
Eddi22
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 92
Wohnort: Wriedel

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 16:52:29    Titel:

Also Kurvendiskussion. Gehe nach folgenden Schritten chronologisch vor:

Definitionsbereich
Symmetrie
Nullstellen
Ableitungen
Extremwerte
Wendepunkte
Verhalten für positiv Unendlich und negativ Unendlich
Wertebereich
Zeichnung

Defintionsbereich ist hoffentlich klar! D=R

Symmetrie:

Achsensymmetrie prüfen f(x)=f(-x)

Also: 1/2x^4-ax^2=1/2(-x)^4-a(-x)^2

Dann rechte Seite auflösen und damit erkennt man das (-x) immer positiv wird und exakt das selbe ist wie vor dem Gleichheitszeichen. Somit liegt eine Achsensymmetrie zur Y-Achse vor. Eine Punktsymmetrie braucht nicht mehr behandelt zu werden. (f(x)=-f(-x) wäre die Bedingung).

Nullstellen:

Du kannst zweimal ein x ausklammern, somit x1=0 und x2=0 (doppelte Nullstelle, anders ausgedrückt ein Berührpunkt direkt bei P(0/0).

Nach zweimal ausklammern bleibt: y=1/2x^2-a
y=0 setzen und nach x auflösen:
Zwei weitere Nullstellen: +Wurzel(2a) und -Wurzel(2a)

Vergess nicht alle Nullstellen aufzuschreiben.

Ableitungen:

f(x)=1/2x^4-ax^2
f'(x)=2x^3-2ax
f''(x)=6x^2-2a
f'''(x)=12x

Extremwerte:

f'(x)=0 und f''(x)>0 oder f''(x)<0

a) 2x^3-2ax=0 (ein x ausklammern)
x(2x^2-2a)=0 (erste Nullstelle bei x=0)
2x^2-2a=0 (Umformen)
2x^2=2a (geteilt durch 2)
x^2=a (Wurzel ziehen)

Zwei weitere Nullstellen der 1. Ableitung: x1=+Wurzel(a)
x2=-Wurzel(a)

Einsetzen der gefundenen Nullstellen in die 2 Ableitung:

f''(x)=6x^2-2a
f''(0)=-2a (da a>0, ist der Wert kleiner als 0 und damit ein Hochpkt.)

f''(+Wurzel(a))=6a-2a=4a (größer als 0 und damit ein Tiefpunkt)
f''(-Wurzel(a))=6a-2a=4a (größer als 0 und auch ein Tiefpunkt)

Der Rest kommt gleich
Eddi22
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 92
Wohnort: Wriedel

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 17:05:22    Titel:

Wendestellen ergeben sich aus der 2. Ableitung:
Bedingungen: f''(x)=0 und f'''(x) ungleich 0

f''(x)=6x^2-2a

f''(x)=0

6x^2-2a=0 (umformen und durch 6 teilen)
x^2=1/3a (Wurzel ziehen)

Ergibt zwei mögliche Wendepunkte:
x1=+Wurzel(1/3a)
x2=-Wurzel(1/3a)

Überprüfen in der 3. Ableitung: (Wenn dann auch alles prüfen Wink )

f'''(x)=12x

daraus folgt: f'''(x)=12*(+Wurzel(1/3a))
f'''(x)=12*(-Wurzel(1/3a))

Damit können wir leider nicht viel anfangen, aber sie sind ungleich Null und somit echte Wendepunkte der Funktion.

An dieser Stelle sei noch mal gesagt: vergess nicht die gefunden Punkte (Extrempunkte, Wendepunkte) in die Ausgangsfunktion (f(x)) einzusetzen und den betreffenden y-Wert zu ermitteln. Gibt sonst Punktabzug...

Verhalten für positiv Unendlich:

Werden die Werte für x in f(x), also einmal bei x^4 und einmal bei x^2 sehr groß, dann wird auch das Ergebnis sehr groß... Somit strebt der Graph gegen positiv unendlich.

Das gleiche gilt auch für negative große Werte. Durch die geraden Exponenten 4 und 2 werden die negativen Werte positiv und somit strebt der Graph auch im Negativen ins Unendliche. Genauer geht es leider nicht mehr, da ich nicht mehr die Zeit habe. Bilde den Grenzwert...

Wertebereich: W=R, da genau wie im Definitionsbereich alle Werte möglich sind.

Am Ende die Zeichung...

So das wäre eine gute Kurvendiskussion und nun schau ich noch mal über die beiden anderen Aufgaben. Meld mich dann... Stell schon mal etwas kühles parat... Wink
Eddi22
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 92
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BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 17:25:58    Titel:

So nun zu den beiden anderen Aufgaben: Ortskurve zu Tiefpunkten und Wendepunkten:

1) Du musst erst die Extrempunkte bestimmen. x-Koodinate hast du ja nun: +Wurzel(a) und -Wurzel(a)

Setze sie in f(x) ein: => 1/2(Wurzel(a))^4-a(Wurzel(a))^2
Nach auflösen ergibt sich:
y=-1/2(a^2) und x=+Wurzel(a)

Um die Ortskurven zu bekommen, musst du die eine Gleichung nach a auflösen und in die andere Gleichung einsetzen. Also:

x=+Wurzel(a) (Quadrieren)
x^2=a (das setzen wir nun in die andere Gleichung)

y=-1/2((x^2)^2)=-1/2(x^4) (Ortskurve für die Tiefpunkte)
Das gleiche Ergebnis wirst du auch bei dem zweiten Tiefpunkt bekommen.



Das gleiche machst du mit den Wendepunkten:

Wendepunkte +Wurzel(1/3a) und -Wurzel(1/3a)
einsetzen in f(x) und die y-Koordinate ermitteln.
nach x auflösen (aus x=Wurzel(1/3a)
einsetzen
Zusammenfassen und fertig


Fragen? Bin erst morgen wieder da...
Eddi22
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
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BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 18:20:28    Titel:

Kleines Danke wäre schön gewesen...
BLaKatZe
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 20:10:53    Titel:

Eddi22 hat folgendes geschrieben:
Kleines Danke wäre schön gewesen...

bin grad erst wieder on gekommen sonst wäre das dankeschön natürlich schon früher gekommen!!!!
danke das du dir die mühe gemacht hast
eddi!!! Razz
BLaKatZe
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 20:27:20    Titel:

also ich werd das mal jetz durcharbeiten !!
wenn irgentwelche fragen aufkommen dann meld ich bei dir Very Happy
Eddi22
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 92
Wohnort: Wriedel

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2005 - 08:10:39    Titel:

Dann tu dies... Hoffe es ist verständlich
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