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Tagenten-Funktion und maximale Strecke
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Heaven
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 17:48:30    Titel: Tagenten-Funktion und maximale Strecke

Hallo,

ich habe da ein Problem bei folgender Aufgabe:

"Die Tangente und die Normale im Schnittpunkt von Kt mit der y-Achse schneiden aus der x-Achse eine Strecke aus. Für welche Kurve Kt wird die Länge dieser Strecke extremal? Handelt es sich um ein Maximum oder Minimum? Gib den Extremwert der Streckenlänge an."

Die Ausgangsfunktion lautet: f(x)=e-e^tx (^tx=hoch tx)
Sy habe ich (0/e-1) und die Tangente habe ich y=-tx+(e-1) und die Normale y=1/t*x+(e-1)...

Und wie rechne ich nun jetzt weiter?...

Vielen Dank im voraus Wink
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 18:20:12    Titel:

Hi,
nun musst du die beiden Gleichungen (der Tangenten und der Normalen) nach x auflösen:
y_1 = -t*x + (e-1) ==> x_1 = (e-1)/t und
y_2 = 1/t * x + (e-1) ==> x_2 = -t*(e-1)
d.h. die waagerechte Strecke ist: L(t) = x_1 - x_2; also folgt: L(t) = (e-1)/t + t*(e-1);

nach Ableiten ergibt sich:
L'(t) = -(e-1)/t² + (e-1) = 0 ==> (e-1)*(-1/t² + 1) = 0 ==> t² = 1 ==> t = ±1

d.h. die beiden Geraden (Normale und Tangente) bilden einen Winkel unter 90°; es handelt sich um ein Minimum, für jedes andere t ist die Länge L(t) größer;

L(t=1) = 2*(e-1)

Tschüss dann !


Zuletzt bearbeitet von aldebaran am 30 Mai 2005 - 20:43:38, insgesamt 2-mal bearbeitet
Heaven
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 18:42:45    Titel:

Super! Shocked vielen herzlichen Dank aldebaran.
Wink
Heaven
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 19:53:28    Titel:

L(t) = x_2 - x_1 also folgt: L(t) = (e-1)/t - t*(1-e)

Noch ne Frage dazu: hast du das nicht vertauscht? wenn x_2-x_1 ist dann muss doch zuerst t*(1-e)-(e-1)/t hingeschrieben werden
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 19:59:59    Titel:

Hi nochmals,
stimmt, die Indizes waren vertauscht; ich habs oben in die richtige Reihenfolge abgeändert !
Heaven
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 20:05:25    Titel:

Aber heißt es dann nicht bei der 1 Ableitung: (1-e) + (e-1)/t²
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 20:46:44    Titel:

Nu ists aber richtig!

Siehe weiter oben!!
Heaven
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2005 - 21:16:34    Titel:

Ok vielen Dank für die Hilfe Wink
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