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(euklidische) Norm + Ableitungsproblem
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rudi11
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Anmeldungsdatum: 03.03.2010
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2010 - 21:25:57    Titel: (euklidische) Norm + Ableitungsproblem

Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Ich soll die Norm von f(t)=0.5 e^t (cost, sint, sqrt2)^T berechnen.
Nun ist das ja eigentlich nicht schwer, soweit ich das verstanden habe wäre es ja einfach wurzel aus der addition aller teile des vektors jeweils zum Quadrat. Was aber amche ich mit dem 0.5 e^t ?

Mein zweites Probelm ist: Ich soll diese funktion ableiten. Auch hier weiss ich, ich muss jeden Teil des Vektors einzeln ableiten. Jedoch wie genau verknüpfe ich das nun mit dem Rest vor de mVektor bzw. was mache ich damit?

Danke
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8200
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2010 - 21:47:55    Titel:

0,5*e^t ist ein Koeffizient, mit dem der Vektor (cost, sint, sqrt2)^T multipliziert wird.

Der Vektor heißt also eigentlich (0,5*e^t*cost, 0,5*e^t*sint, 0,5*e^t*sqrt2)^T.

Damit sollte klar sein, wie damit bei der Bildung der Norm umzugehen ist.

In der Schreibweise 0,5*e^t (cost, sint, sqrt2)^T ist dieser Faktor gewissermaßen ausgeklammert. Und jetzt überlege Dir,
a) daß Du die Norm berechnen kannst, indem Du vorher den Faktor in den Vektor hineinmultiplizierst.
b) daß dieser Faktor dadurch in jedem Summanden bei der Normbildung quadratisch auftaucht
c) daß Du das beim Wurzelziehen durch Ausklammern dieses Quadratfaktors berücksichtigen kannst
d) daß er damit wieder als Faktor vor der Norm von (cost, sint, sqrt2)^T landet.
e) daß diese Norm multiplikativ linear ist ||λ*A||=λ*||A||.

Gruß, mike

P.S.: Wenn Du die Norm erst bestimmt hast, siehst Du, daß die durch eine so einfache Funktion dargestellt wird, daß das Ableiten kein Problem sein sollte.
rudi11
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Anmeldungsdatum: 03.03.2010
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 06 Mai 2010 - 08:18:26    Titel:

M_Hammer_Kruse hat folgendes geschrieben:
0,5*e^t ist ein Koeffizient, mit dem der Vektor (cost, sint, sqrt2)^T multipliziert wird.

Der Vektor heißt also eigentlich (0,5*e^t*cost, 0,5*e^t*sint, 0,5*e^t*sqrt2)^T.

Damit sollte klar sein, wie damit bei der Bildung der Norm umzugehen ist.

In der Schreibweise 0,5*e^t (cost, sint, sqrt2)^T ist dieser Faktor gewissermaßen ausgeklammert. Und jetzt überlege Dir,
a) daß Du die Norm berechnen kannst, indem Du vorher den Faktor in den Vektor hineinmultiplizierst.
b) daß dieser Faktor dadurch in jedem Summanden bei der Normbildung quadratisch auftaucht
c) daß Du das beim Wurzelziehen durch Ausklammern dieses Quadratfaktors berücksichtigen kannst
d) daß er damit wieder als Faktor vor der Norm von (cost, sint, sqrt2)^T landet.
e) daß diese Norm multiplikativ linear ist ||λ*A||=λ*||A||.

Gruß, mike

P.S.: Wenn Du die Norm erst bestimmt hast, siehst Du, daß die durch eine so einfache Funktion dargestellt wird, daß das Ableiten kein Problem sein sollte.


Wäre dann meine Norm also einfach 0.5e^t * sqrt(cost² + sint² +2) ??

Dann bin ich mir nicht sicher ob du das richtige meinst, ich muss die ursprüngliche funktion ableiten, nicht die Norm.
Dort würde ich also auch den Faktor in de nVektor hinein multiplizieren. Dann jeden Wert einzeln ableiten. Müsste ich dazu die Produktregel verwenden für den Faktor 0.5 e^t und dann für den jeweiligen 2ten Wert? Oder steckt da noch mehr (oder weniger) dahinter?
Danke
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8200
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 06 Mai 2010 - 08:33:50    Titel:

Zitat:
Wäre dann meine Norm also einfach 0.5e^t * sqrt(cost² + sint² +2)

Im Prinzip ja. Allerdings läßt sich das noch wesentlich vereinfachen.

Zitat:
Müsste ich dazu die Produktregel verwenden für den Faktor 0.5 e^t und dann für den jeweiligen 2ten Wert?

Wenn du nicht die Norm, sondern den Vektor nach t ableiten sollst, dann mußt du natürlich für jede einzelne Komponente die Produktregel verwenden. Nicht "für den Faktor 0.5 e^t und dann für den jeweiligen 2ten Wert", sondern für das jeweilige Produkt.

Gruß, mike
rudi11
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Anmeldungsdatum: 03.03.2010
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 09 Mai 2010 - 10:43:15    Titel:

M_Hammer_Kruse hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Wäre dann meine Norm also einfach 0.5e^t * sqrt(cost² + sint² +2)

Im Prinzip ja. Allerdings läßt sich das noch wesentlich vereinfachen.



Was dann 0.5e^t * sqrt3 ist, nicht wahr?

Und für meine Ableitung komme ich auf folgendes: 0.5e^t (-sint + cost, cost + sint, (1/2√2) +√2 )^T.
Was mir leider auch danach aussieht als wäre es nicht ganz korrekt oder ich habe wieder etwas übersehen, das ich wesentlich vereinfachen kann?!

DAnke nochmals
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8200
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BeitragVerfasst am: 09 Mai 2010 - 17:46:09    Titel:

Beinahe gut. Nur bei der letzten Komponente bist Du übers Ziel hinaugeschossen. Da has Du offenbar so getan, als wäre die 2, die unter der Wurzel steht, eine Variable, nach der abzuleiten ist.

Ist aber nicht. 2 ist und bleibt eine Konstante, und abgeleitet wird hier nach t.

Gruß, mike
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