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Taylor -Polynom
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Nölz
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2005 - 10:27:15    Titel: Taylor -Polynom

Irgendwie komme ich mit diesen Polynomen nicht klar!
Bestimmen sie die Taylor-Polynome der Funkton:

f:R\(1) ---> R; x-> 1/x-1
Hilfe !!!!!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2005 - 12:50:30    Titel:

Man braucht noch einen Punkt im Definitionsbereich, für den man die Taylorapproximation durchführt und dann wäre noch interessant zu erfahren, bis zu welchem Glied man das Polynom ausrechnen soll.
Nölz
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 09:41:07    Titel:

Steht da aber alles nicht, das is die komplette Aufgabe!!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 10:43:21    Titel: Re: Taylor -Polynom

Naja, man kann das schon allgemein machen.
Also das Taylorpolynom der Funktion f(x) an der Stelle a ist allgemein so definiert:
T(a,f)(x) = Sum[i=0,oo] f_i(a) * (x-a)^i / i!,
wobei f_i die i-te Ableitung der Funktion ist.

Für Dein f(x) gilt:
f_0(x) = 1/(x-1)
f_1(x) = -1/(x-1)²
f_2(x) = 2/(x-1)³
f_3(x) = -6/(x-1)^4
:
f_i(x) = (-1)^i * i!/(x-1)^(i+1)

Dann ist das Taylorpolynom an der Stelle a:
T(a,f)(x) = Sum[i=0,oo] f_i(a) * (x-a)^i / i!
= Sum[i=0,oo] ((-1)^i * i!/(a-1)^(i+1)) * (x-a)^i / i!
= Sum[i=0,oo] ((-1)^i * (x-a)^i * i!)/((a-1)^(i+1) * i!)
= Sum[i=0,oo] ((-1)^i * (x-a)^i)/(a-1)^(i+1)
= Sum[i=0,oo] (a-x)^i/(a-1)^(i+1)
= Sum[i=0,oo] (a-x)^i/(a-1)^i * 1/(a-1)
= Sum[i=0,oo] ( (a-x)/(a-1) )^i * 1/(a-1)

Ich weiß nicht, ob man das noch weiter vereinfachen kann. Eine der letzten drei Zeilen sollte Deine Lösung sein. Ich würde zwischen der ersten und dritten wählen.
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