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Feinheiten beim Wurzelziehen
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TheOnlyDenny
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Anmeldungsdatum: 14.12.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2010 - 11:06:15    Titel: Feinheiten beim Wurzelziehen

Hallo Community!

Ich bin heute im Matheunterricht auf ein kleines Problem gestoßen, was ich mir so nicht beantworten konnte.

Die Berechnung eines Scharparameters, bei dem der Graph einer Funktion eine gewisse Fläche einnimmt, hat zu folgender Gleichung geführt:

a^4 = 16

Lösungen sind also 2 und -2.

Nur wie komme ich auf rechnerischem Wege zur Lösung -2?
Wenn ich die vierte Wurzel ziehe, bleibt dann +-a = 2 ?

Meine Lehrerin meinte, das Wurzelziehen wäre eindeutig (was für nichtkomplexe Wurzeln meiner Meinung nach auch stimmt)..

Auch wenns nur ne Nebensächlichkeit ist, so lässts mir doch keine Ruhe Razz
DeutschLehrer
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Anmeldungsdatum: 05.04.2010
Beiträge: 452
Wohnort: Seifhennersdorf

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2010 - 11:15:14    Titel:

Wurzelziehen ist nicht eindeutig. Die geradzahlige Wurzel einer posiiven Zahl führt immer zu zwei Lösungen: ±|sqrt(x)|

Gruß DL
TheOnlyDenny
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Anmeldungsdatum: 14.12.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2010 - 11:31:43    Titel:

also hätte der Term sqrt(4) die Werte 2 und -2?

dass es eine gewissen Uneindeutigkeit beim Lösen von Gleichungen mit dem Wurzelzeichen geben kann, ist klar.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3151

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2010 - 11:33:43    Titel:

a^4 = 16

Sub.: a^2 = z

z^2 = 16
|z| = 4

z = 4 v -z = 4 (diese Lösung kommt nicht in Frage)

a^2 = z

|a| = sqrt(z)

a = sqrt(4) = 2 oder
-a = sqrt(4) = 2 -> a = -2

Wir haben also im Reellen zwei einfache Lösungen.
Listing
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Anmeldungsdatum: 08.01.2007
Beiträge: 462

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2010 - 13:38:37    Titel:

Schülern erkläre ich das immer so:

a^4 = 16
a^4-16 = 0
(a^2+4)(a^2-4)=0
(a^2+4)((a+2)(a-2))=0
(a+2)(a-2)(a^2+4)=0

Ein Produkt wird 0 wenn ein Faktor 0 ist.
a^2+4 kann nicht 0 werden weil a^2 immer positiv ist
a+2 wird für a=-2 Null
a-2 wird für a=2 Null

Die Lösungen sind a=2 und a=-2
TheOnlyDenny
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Anmeldungsdatum: 14.12.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2010 - 14:50:51    Titel:

So machts natürlich Sinn Smile

Danke für die Antworten
Hausmann
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Anmeldungsdatum: 22.08.2009
Beiträge: 2959

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2010 - 18:02:00    Titel: Re: Feinheiten beim Wurzelziehen

TheOnlyDenny hat folgendes geschrieben:
Meine Lehrerin meinte, das Wurzelziehen wäre eindeutig

Durchaus korrekt, enstsprechend Tafelwerk
[;\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a\wedge a,b\in \mathbb{R} \wedge a\geq 0\wedge b>0 \wedge n\in \mathbb{N}*/ {1};].

Etwas anderes ist die hier schon angesprochene Vielfalt der Lösungen bestimmter Gleichungen.

mfG
Glumb
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Anmeldungsdatum: 03.04.2006
Beiträge: 1783
Wohnort: Bremen

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2010 - 19:00:19    Titel:

Um die Idee noch etwas auszuführen:

Per Definition ist sqrt die positive Inverse von (...)^2. Hierdurch ist das Wurzelziehen eindeutig, aber das heißt nicht, dass es nur eine Lösung von a^2 = b (>0) für a gibt! Die positive bekommt man durch Anwendung von sqrt und die negative durch die Achsensymmetrie von (...)^2 praktischerweise als -sqrt(a).
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