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Logik, natürliche Zahlen
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Archivarius
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 184

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2010 - 12:05:22    Titel: Logik, natürliche Zahlen

Guten Tag, muss bis morgen eine Aufgabe fertig haben, weiß aber nicht wie ich da rangehen soll:

Sei B Teilmenge von n. Zeigen Sie, dass B endlich ist und |B| <= n
(Benutzen Sie nur die Definition von "endlich" und Induktion)

Ich denke mal, dass die Definition von "endlich" ist, dass es eine natürliche Zahl m gibt, so dass die Abbildung

f: m --> B

eine Bijektion ist. Mein Ansatz war es nach n zu induzieren (n --> n+1)
und dann solch eine Bijektion von einem m € n+1 nach B zu finden.
Hilfe? Hinweise? Danke im Voraus!

Grüße, Archivarius
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2010 - 12:26:27    Titel:

Nu, bei einer Induktion nach n ist der Induktionsschritt bei deiner Aufgabe recht trivial. Was ich noch nicht sehe: Wie willst du hier einen Induktionsanfang beweisen?

Cyrix
swe36
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Anmeldungsdatum: 24.01.2010
Beiträge: 37
Wohnort: /home/

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2010 - 15:44:43    Titel:

Ich verstehe leider die Angabe nicht.

Was ist n? Eine Zahl oder eine Menge? |B| ist die Mächtigkeit der Menge B?

Lg
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2010 - 16:45:59    Titel:

@swe36: Ich vermute die nat. Zahlen werden hier als Ordinalzahlen eingeführt, d.h. die 0 ist die leere Menge und n+1={0,1,...,n}. Das Symbol n steht dann also sowohl für die Zahl als auch die Menge n. Und ja, |B| ist die Mächtigkeit der Menge B.

Cyrix
Archivarius
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 184

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2010 - 20:36:40    Titel:

Den Induktionsanfang n=0 meinst du?

Wenn B Teilmenge von n=0 ist, dann ist B eine Teilmenge der Leeren Menge. Dann muss B schon die Leere Menge sein. Es gilt dann

|B| = 0 <= 0 = n

Und es ist genauso wie cyrix gesagt hat, die Zahl n steht für die Menge
{0,1,...n-1} und stimmt mit ihrer Mächtigkeit überein.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2010 - 20:39:24    Titel:

Nuja, du kannst eben nicht mit n=0 starten. Beispiel: Wähle B=1 und n=2. Dann ist die Voraussetzung erfüllt. Aber offensichtlich wird dies durch deine Induktion nicht abgedeckt (da nicht B Teilmenge von 0 ist)...

Cyrix
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2010 - 21:00:09    Titel:

Ich würde so heran gehen: Sei B Teilmenge von n. Ist n=0, so sind wir fertig (hast du eben schon gezeigt; Induktionsanfang.) Ist n=m+1, so gibt es zwei Fälle:

1. B ist auch Teilmenge von m. Dann sind wir auch fertig (Induktionsschritt).

2. B ist nicht Teilmenge von m. Was gilt dann?


Cyrix
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