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Komplexe Zahlen
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Design-Supernovae
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 101
Wohnort: Offenbach am Main

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2005 - 19:47:25    Titel: Komplexe Zahlen

Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

z^3 (1+i) - 1 + i = 0

Ich habe leider überhaupt keinen Ansatz. Könnte mir jemand weiterhelfen!
Design-Supernovae
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 101
Wohnort: Offenbach am Main

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2005 - 21:47:19    Titel:

kann niemand helfen?
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 07:37:07    Titel:

hallo,

allgemein lautet deine gleichung

a*(z³) - b = 0. z ist gesucht und a,b sind komplexe Zahlen. Dann ist

z³ = (b/a)

und z := |z|e^(i*phi). Also ist |z| = |(b/a)|^(1/3). deshalb geht

z³ = (b/a) über in

e^(3i*phi) = (b/a) /(|z|^3)

und damit

cos(3*phi) = Realteil((b/a) /(|z|^3))

phi = (1/3)*arccos(Realteil((b/a) /(|z|^3)))

grüße
m
Design-Supernovae
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 101
Wohnort: Offenbach am Main

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 08:20:15    Titel:

hm so ganz kann ich dem nicht folgen. Vorallem der Anfang ist mir völlig unverständlich
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 11:53:20    Titel:

hallo,

e^(i*phi) = cos(phi) + i*sin(phi) (i ist wurzel aus -1). deshalb kannst du jede komplexe Zahl z:= a+i*b schreiben in der Form

z = ((a²+b²)^(1/2))*e^(i*phi)

(a²+b²)^(1/2) ist aber nichts anderes als z betrag, in Zeichen |z|. Und für den Winkel phi gilt:

cos(phi) =a/|z|

sin(phi) = b/|z|

grüße
m
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