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Differentialgleichungen aufstellen, nur wie?
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Ensiferum
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Anmeldungsdatum: 01.11.2005
Beiträge: 667

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2010 - 16:30:08    Titel: Differentialgleichungen aufstellen, nur wie?

Hey,

es geht um das Aufstellen von DGL erster Ordnung.
Die Aufgabenstellung lautet:
In welcher Zeit kühlt sich ein Körper, der auf 100°C erhitzt wurde, in einem Zimmer mit einer Temperatur von 20 ° C bis auf 25 ° C ab, wenn er sich in 10 Minuten bis auf 60°C abkühlt`?



So sind noch ein paar nette Hinweise gegeben, wie

* Die Geschwindigkeit der Abkühlung ist proportional zur Temperaturdifferenz


Gsucht: Differentialgleichung für die Temperatur T in Abhängikeit von der Zeit t aufzustellen; die Umgebungstemp. soll Tu heißen.

Aus diesen Informationen könnte man ja Folgendes entnehmen:

* wir brauchen T(t)
* Geschwindigkeit der Abkühlung --> dT/dt ~ 1/delta(t)
* wir wissen T(10min) = 60 ° C
delta(T) = 40 ° C bei delta(t) = 10 Minuten
* Tu = 20 ° C
* T_2 soll sein 25°

---------------------------
Wie mache ich jetzt weiter um die Gleichung aufstellen zu können? Ich ab leider keine Idee

Vielen Dank Very Happy
Hausmann
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Anmeldungsdatum: 22.08.2009
Beiträge: 2955

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2010 - 16:41:57    Titel:

Wenn die (zeitliche) Änderung der Temperatur proportional zur Differenz gegen die Umgebungstemperatur ist, kann man sich die DGL eigentlich schenken; Exponentialfunktion. [T bitte in K = Kelvin] [;\frac{dT}{dt}=-a(T-T_u);]
Ensiferum
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Anmeldungsdatum: 01.11.2005
Beiträge: 667

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2010 - 16:48:31    Titel:

angenommen man wüsste nicht, wie das mit der e-fct. geht, wie würde man dann vorgehen?
Hausmann
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Anmeldungsdatum: 22.08.2009
Beiträge: 2955

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2010 - 16:59:23    Titel:

Hilfsgröße [;T':=T-T_u\rightarrow \frac{dT'}{dt}=-a\cdot T';] soweit erstmal die DGL, a die "Abkühlungsneigung", je nach physikalischen Bedingungen.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2010 - 16:09:43    Titel: Ich habs auch mal versucht.

Wollte mal sehen, wie "elegant" sich hierzu die Laplace-Transformation eignet (der klassische Weg verwendet Variation der Konstanten).
Einige Symbole und Einheiten wurden geändert (T und °C sind nicht konsistent).
In welcher Zeit t₂ kühlt sich ein Körper, der auf θ₀ = 100°C erhitzt wurde, in einem Zimmer mit einer Temperatur von θ = 20°C bis auf θ₂ = 25°C ab, wenn er sich in t₁ = 600 s bis auf θ₁ = 60°C abkühlt?
Gesucht: Differentialgleichung für die Temperatur θ in Abhängikeit von der Zeit t.
Die Geschwindigkeit θ'(t) der Abkühlung ist proportional zur Temperaturdifferenz θ(t)-θ.
DGL: θ'(t) = -α·[θ(t)-θ] (Das von Hausmann vorgeschlagene Vorzeichen bewirkt, dass der Wert der Proportionalitätskonstante α positiv ist.)

T(s)-θ₀ = -α·[T(s)-θ÷s] → T(s) = [θ₀·s+θ·α]÷[s·(s+α)]
Ansatz für PBZ: T(s) = A₁÷s +A₂÷(s+α)
Multiplikation mit dem Hauptnenner s·(s+α) zur Bestimmung der beiden Konstanten A₁ und A₂:
θ₀·s +θ·β = A₁·(s+α) +A₂·s = (A₁+A₂)·s +A₁·αA₁ = θ, A₂ = θ₀-θ
T(s) = θ÷s +(θ₀-θ)÷(s+α)

θ(t) = θ +(θ₀-θ)·exp(-α·t)
Gegeben: θ₁, t₁ zur Bestimmung von α.
θ₁ = θ(t₁) → α = ln([θ₀-θ]÷[θ₁-θ])÷t₁ {→ α ≈ 0.001155 s⁻¹}
θ(t) = θ +(θ₀-θ)· ([θ₀-θ]÷[θ₁-θ])^(-t÷t₁)
Gesucht: t₂ aus θ₂
θ₂ = θ +(θ₀-θ)· ([θ₀-θ]÷[θ₁-θ])^(-t₂÷t₁)
→ t₂ = t₁ ·ln([θ₂-θ]÷[θ₀-θ])÷ln([θ₁-θ]÷[θ₀-θ]) = 4·t₁ = 2400 s
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