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Algebra - Rechen in einem Ring
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gausss
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Anmeldungsdatum: 18.06.2010
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2010 - 12:59:33    Titel: Algebra - Rechen in einem Ring

Hi,
ich hab ne Rechenaufgabe aus der Algebra. Sei A ein kommutativer Ring und [;a,b \in A;], so dass gilt: [;a+b=1;] und [;(ab)^n = 0;]

Nun soll ich nachrechnen dass für das Element

[;h:=\sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix}2n\\ k \end{pmatrix} a^{2n-k}b^k;]

gilt: [;h^2 = h;]

[;\left (\sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix}2n\\ k \end{pmatrix} a^{2n-k}b^k \right )^2=\left ( \begin{pmatrix}2n\\ 0 \end{pmatrix} a^{2n }b^0 +...+ \begin{pmatrix}2n\\ n-1 \end{pmatrix} a^{n+1 }b^{n-1} \right )^2;]

Nun die Frage: Wie vereinfacht man den letzten Term? Ich müsste ja sowas wie binomische Formeln für mehr als zwei Summanden verwenden, oder??

Danke im Voraus!
gausss
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2010 - 13:12:43    Titel:

Ich glaube nicht, dass du mit einer solchen Methodik zum Ziel kommen wirst. Die Formel sieht schonmal aus wie die erste Hälfte der binomischen Formel, versuchs doch mal mittels Induktion.
gausss
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Anmeldungsdatum: 18.06.2010
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2010 - 13:34:04    Titel:

Hi.
Induktion? Das war für mich nicht gerade die naheliegendste Idee. Das [;n\in \mathbb N;] ist nicht variabel, sondern eine feste Zahl, d.h. [;(ab)^n=0;] gilt nur für dieses eine [;n;]. Und das Ringelement h ist auch so definiert, dass nur bis [;n-1;] aufsummiert wird, d.h. es gilt alles nur für dieses eine n. Über was soll man dann eine Induktion machen?

MfG
Gauss
Shubi
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Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2010 - 13:36:06    Titel:

Bin ich gerade etwas verplant, aber gilt nicht:

[; a^{2n-k}b^k=a^{2n}\cdot ( \frac{1-a}{a})^k=0 \cdot ( \frac{1-a}{a})^k = 0 ;]

Sprich h=0 für alle a und b, insbesondere also h²=h=0?

Edit:

Ah nee, Fehler gefunden, das geht nur, wenn 2a=1 - sowieso, wieso rechne ich gerade über einen Körper?! Einfach vergessen, was ich geschrieben habe Embarassed
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2010 - 13:55:04    Titel:

Wieso sollte a invertierbar sein?

Cyrix
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2010 - 13:57:07    Titel:

Stimmt, Induktion ist hier wohl doch nicht angebracht.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2010 - 13:58:33    Titel:

Nu, es ist doch h im wesentlichen (a+b)^(2n). Das sollte man ausnutzen...


Cyrix
gausss
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Anmeldungsdatum: 18.06.2010
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2010 - 14:14:19    Titel:

Danke cyrix42 für den Tipp! Es ist dann recht einfach zu lösen...
[;h=(a+b)^{2n};], weil das, was man noch abziehen muss, nämlich
[; \begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix} a^nb^n;]
gleich null ist, damit ist h das neutrale Element und h² auch.
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2010 - 14:24:33    Titel:

Was für einen Trick muss man denn noch anwenden? Sonst ginge die Summe doch bei der binomischen Formel bis 2n, nicht bis n - 1. Und man kann nur den n-ten Summanden aus dieser Summe auf dem genannten Wege streichen, der Exponent des a ist in den weiteren Summanden zu niedrig, als dass das ginge.
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