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Newtonverfahren
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misty1
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 4
Wohnort: Haan

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 21:04:02    Titel: Newtonverfahren

Hallo...
ich komme bei folgender aufgabe nicht weiter...!
"Bestimme mit Hilfe des Newtonverfahren die erste Nullstelle von cos(wurzel x)

kann mir vll jemand dabei helfen??
bitte...es ist wichtig!!

dankeschön schonmal Wink
anwnn
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Anmeldungsdatum: 01.05.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 21:08:14    Titel:

heisst newtonverfahren Taylorreihenentwicklung ??? sonst ka was du meinst Smile sorry
misty1
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 4
Wohnort: Haan

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 21:15:31    Titel:

Ich weiß nicht...
hab ich noch nie gehört
Newton-Verfahren ist dieses Verfahren zur Bestimmung von Näherungswerten für eine Nullstelle
heißt:
xn+1=xn-(f(xn)/f`(xn))
Daniel412
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 205

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 21:17:03    Titel:

Hi,
das Ergebnis aus cos(Wurel X) lautet 2,4674.
Gruß Daniel
misty1
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 4
Wohnort: Haan

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 21:20:39    Titel:

Daniel412 hat folgendes geschrieben:
Hi,
das Ergebnis aus cos(Wurel X) lautet 2,4674.
Gruß Daniel


und wie kommst du dadrauf?? Wink
misty1
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 4
Wohnort: Haan

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 21:22:03    Titel:

ich brauch den rechenweg der ist wichtig... Exclamation
es geht ja um das verfahren^^
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2005 - 23:03:48    Titel:

x_(n+1)=x_n-(f(x_n)/f`(x_n))

f(x) = sin(sqrt(x))
f'(x) = cos(sqrt(x)) / (2 sqrt(x))

Somit ergibt sich die Rekursionsformel

x_(n+1) = x_n - 2 sqrt(x_n) sin(sqrt(x_n)) / cos(sqrt(x_n))

Das einzige Problem ist die Bestimmung des
Startwertes für die "erste" Nullstelle.

f''(x) = -sin(sqrt(x))/(4x) - cos(sqrt(x))/(4*sqrt(x^3))

Eine gebräuchliche Methode ist es lokale Konvexität (Konkavität)
nachzuweisen über die zweite Ableitung. Die formale Lösung für f''(x) > 0 (bzw. f''(x) < 0) ist doch ein wenig zu aufwendig.

Wie habt Ihr denn das in der Schule gemacht?
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2005 - 16:34:02    Titel:

[klugscheiss]

Die Funktion heisst
f(x)=cos(sqrt(x)) und nicht sin(sqrt(x)) Sad
f'(x)=-1/2*sin(sqrt(x))/(sqrt(x))

und die Rekursionsformel ist dann:

x_n+1=x_n - (cos(sqrt(x_n)))/(-1/2*sin(sqrt(x_n))/(sqrt(x_n)))

oder schöner geschrieben:

x_n+1= x_n+2*cos(sqrt(x_n))*sqrt(x_n)/sin(sqrt(x_n))

mit x_n =1 ergibt sich:

x_n+1 = 2.284185232

das wieder für x_n eingesetzt ergibt

x_n+2=2.464079430

usw.

x_n+5 = 2.467401101

die exakte Lösung kann man hier auch problemlos ermitteln:

Nullstellen bei x = 1/4*Pi^2
und das ist ungefähr bei: 2.467401101

Also hat das Newtonverfahren funktioniert Wink [/klugscheiss]
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2005 - 16:50:23    Titel:

@algebrafreak
ich hab über das Newtonverfahren meine Facharbeit geschrieben und folgenden Satz benutzt zur Fehlerabschätzung:

Ist in einem Intervall, das außer einer Lösung u der Gleichung auch sämtliche Iterationswerte x_0,x_1=phi(x_0),...x_n+1) enthält, die Bedingung |(phi'(x))|<=q (q positive Konstante <1, wobei es zweckmäßig erscheint, den (positiven) q-Wert so klein wie möglich zu wählen! ) erfüllt, so existiert lim(x_n=u, n gegen unendlich) und es gilt die Fehlerabschätzung abs|u-x_n|<=q/(1-q)*|x_n-x_n+1|.

Würde mich freuen, wenn ich dir den kram mal im original schicken dürfte und deine meinung als fachmann zur kovergenz einholen könnte!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2005 - 18:52:46    Titel:

Die Bedingung ist sehr interessant, obwohl ich da einige Hacken sehe. Etwa das Überprüfen, ob alle Punkte der Folge im Interval liegen. Du kannst mir Deine Arbeit gerne nach lasaruk@fmi.uni-passau.de schicken.
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