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Kugeln
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Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2005 - 13:30:33    Titel: Kugeln

gegeben sind 2 Kreise:

K1: (x-3)^2+(y-3)^2+(z+0,5)^2 = 42,25
K2: (x-4)^2+(x-2)^2+(x+1)^2 = 49


aufgrund der Abstände der mittelpunkte kann man sagen, dass die kreise einander schneiden.. nur wie genau rechne ich die schnittfläche aus?? wie sieht die überhaupt aus? ist das dann wieder ein kreis?
y0011482
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 01:02:44    Titel:

Hallo

Ich gehe mal von Kugeln und nicht von Kreisen aus ...

Wenn die Kugeln sich schneiden entsteht ein Schnittraum, also ein Volumen. Das ganze kennen wir aus der Optik als Linse, soll heissen eine kreisförmige Scheibe, die von einem scharfen Rand zur Mitte dicker wird.

Sinnvoll für die Betrachtung ist eine beliebige Ebene, die die beiden Kugelmittelpunkte enthält. Dann kann man um die Mittelpunkte im jeweiligen Kugel-Radius die Schnittkreise mit dieser Ebene zeichnen.

Diese Kreise werden sich leicht überlappen und das ist die Fläche, die durch Rotation um die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte den Schnittkörper ergibt.

Interessant ist besonders das Dreieck aus den Seiten a,b und c mit
a und b sind die Radien der Kugeln und
c ist die direkte Verbindungslinie (der Abstand) der Kugelmittelpunkte (MaMb)
Die Höhe h dieses Dreiecks ist der maximale Radius der Linse.

Bleibt natürlich die Frage, was mit Schnittfläche gemeint ist? Das könnte entweder der maximale Kreis der entstehenden Linse und damit ein Messer-Schnitt durch das gemeinsame Volumen der Kugeln sein. Das müßte man sich so vorstellen, als würde man zwei Äpfel zusammen pressen. Gefragt wäre dann die Berührfläche der beiden Äpfel, also ein Kreis mit Radius h von oben.

Wenn c am Fußpunkt der Höhe h in p und q aufgeteilt wird (c=p+q) gilt: p²+h²=a² und q²+h²=b²

Alternativ könnte auch in der oben beschriebenen Schnittansicht die überlappende Fläche der beiden Kreise gemeint sein. Um bei den Äpfeln zu bleiben, müßte man streng genommen aus einem ein Stück rausbeissen, damit der andere Apfel in den ersten ein Stück eindringen kann. Das abgebissene Stück ist die beschriebene Linse. Und wenn man jetzt diese Linse senkrecht zur Schale durchschneidet, dann berührt das Messer die gesuchte Fläche.

Um diese Fläche zu berechnen, mußt Du das Dreieck a, h, p von dem Kreissektor mit dem Öffnungswinkel zwischen a und c und dem Radius a abziehen. Dieses "Viertel" der Linse wiederholt sich noch einmal symmetrisch auf der anderen Seite von c, darum mit 2 multiplizieren. Jetzt hast Du die "halbe" Linse, die von Ma wegzeigt. Die andere "Hälfte" bekommst Du durch die gleiche Rechnung mit b und q.

Vielleicht konnte ich Deiner Vorstellungskraft ein wenig auf die Sprünge helfen.

y0011482
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