Kurvendiskussion & C.Punkt

michi81 · Newbie Anmeldungsdatum: 21.05.2005 Beiträge: 17

Hallo, ich muß am Montag folgende Aufgabe präsentieren und komme einfach nicht auf die richtige Lösung! Bitte helft mir!

Folgende Aufgabenstellung:

Eine Firma hat folgende Funktion festgestellt (in Tonnen):

K(x)= 6x³ - 39x² + 10x + 700
p(x)= 27,8x + 10
p(x)=480 - 12x

a) Bei welcher Absatzmenge wird der Maximalgewinn erreicht und wie groß ist er?

b) Welche Koordinaten hat der Cournot'sche Punkt?

c) Eine Kurvendiskussion der Funktion f(x)= 5x^4-60x² + 100 ergab:
Nullstellen bei: 1,41; -1,41; 3,16 und -3,16;
Extremwerte bei: 0; 2,4495 und -2,4495;
Wendepunkte bei: 1,41 und -1,41;

Untersuchen Sie das Steigungsverhalten von f.

megagad · Full Member Anmeldungsdatum: 02.06.2005 Beiträge: 123

Die Lösung dafür ist bestimmt nicht ganz so schwer. Vielleicht hättest du die Aufgabe ein bißchen genauer formulieren sollen, dann wär bestimmt auch schon eine Lösung da....

S1 · Full Member Anmeldungsdatum: 05.06.2005 Beiträge: 349

deine Kostenfunktion ist ja inordnung, nur wo ist deine erlösfunktion? E(x)
man braucht diese funktion um die gewinnfunktion G(x) zubestimmen.

Ein Beispiel mal von mir:

E(x) = 20x
K(x) = x³ - 9x² +35x + 18
G(x) = E(x) - K(x)

G(x) = 20x - (x³ - 9x² +35x + 18 )
G(x) = 20x - x³ + 9x² -35x - 18
G(x) = -x³ + 9x² - 15x - 18

E(x) = 20x
K(x) = x³ - 9x² +35x + 18
G(x) = -x³ + 9x² - 15x - 18

Wenn du jetzt den maximalen Gewinn suchst, musst du G(x) ableiten und gleich null setzen. G'(x) = 0

G'(x) = -3x² + 18x - 15
0 = -3x² + 18x - 15 | : (-3)
0 = x² - 6x + 5

Jetzt nimmst du die P,Q-Formel
x 1,2 = -(p/2) +- sqrt ( (p/2)² - q)

x 1,2 = -(-6/2) +- sqrt ( (-6/2)² - 5)
x 1,2 = 3 +- sqrt ( (-3)² - 5)
x 1,2 = 3 +- sqrt ( 9 - 5)
x 1,2 = 3 +- sqrt ( 4 )
x 1,2 = 3 +- 2

x 1 = 5
x 2 = 1

Deine maximalen Kosten, wer immer die auch suchen mag, sind bei 1. Dein maximaler Gewinn ist bei 5. (Der COURNOTscher Punkt)

Es geht auch anders:
Der COURNOTsche Punkt weisst eine ganz besondere Eigenschaft auf. Auf der Kostenfunktion K(x) hat er die gleiche Steigung wie die Erlösfunktion E(x). Will heissen. Wenn du dir die Herleitung der Gewinnfunktion sparen willst, setzt du einfach die erste Ableitung der Kostenfunktion K(x) gleich der Steigung der Erlösfunktion E(x). K'(x) = 20

E(x) = 20x
E'(x) = 20
K(x) = x³ - 9x² +35x + 18
K'(x) = 3x² - 18x + 35

20 = 3x² - 18x + 35 | -20
0 = 3x² - 18x + 15 | : 3

0 = x² - 6x + 5
Diese Funktion hatten wir ja eben schonmal. Der Rechenweg zu x1 und x2 steht oben.

Ich hoffe ich habe dir helfen können, wenn auch etwas zuspät für deinen Vortrag. Aber du lernst ja nicht für den Vortrag sondern fürs Leben. Kannst ja nochmal bei Gelegenheit deine Erlösfunktion posten. Bis denn!!!

MFG S1