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Mittelwertsatz der Differentialrechnung
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Doppelhelix
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Anmeldungsdatum: 27.05.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2005 - 22:50:27    Titel: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Hey Leute,

Ich soll erklären, was der Mittelwertsatz aussagt und steh leider etwas daneben.

Vor: Seien a<b element R f: [a,b] -> R stetig und f differenzierbar.
Beh:
(a) für mind. ein x element (a,b) : f(a) - f(b) = f'(x)(a - b).

(b) Erfüllt g: [a,b] -> R dieselben Voraussetzungen wie f und gilt für alle
x element (a,b) : g'(x) ungleich 0, so gilt: für mind. ein x element
(a,b) : (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(x)/g'(x).

Vielleicht kann mir jemand erklären, wie dieser Satz zu deuten ist.

Schon mal danke
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2005 - 02:23:59    Titel: Re: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Zu a)
Das bedeutet, daß es zwischen a und b ein x gibt, dessen Tangente den gleichen Anstieg hat wie die Gerade von (a,f(a)) nach (b,f(b)).
Anders gesagt, die Gerade durch die Punkte der Koordinatenebene (a,f(a)) und (b,f(b)) läßt sich so verschieben, daß sie über einem x zwischen a und b die Tangente der Funktion bildet.

Zu b)
Es gibt ein x, so daß das Verhältnis der Anstiege der Tangenten an f und g gleich dem Verhältnis der Anstiege der Geraden durch (a,f(a)) und (b,f(b)) und durch (a,g(a)) und (b,g(b)) ist.
Oder: Das Verhältnis der mittleren Anstiege wird von den Tangenten von f und g über einem x zwischen a und b angenommen.
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