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Umgebung, Injektivität
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franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2005 - 14:30:49    Titel: Umgebung, Injektivität

Hallo euch allen!

ich habe eine recht kleine Aufgabe, aber ich weiß nicht in welchen Schritten ich sie beweisen kann.

Zeige, dass f: R -> R.

f(x)=x+x²sin(1/x), wenn x !=0
und 0, wenn x=0

Ich habe erst mal die Ableitung ausgerechnet:

f'(x)=1+2xsin(1/x)-cos(1/x)
Auch wenn ich hier für x=0 setze bekomme ich 0.

Wie kann ich das zeigen??
Dankeschön...
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2005 - 14:57:48    Titel:

Du hast vergessen zu schreiben, was zu beweisen war Smile
franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2005 - 15:14:16    Titel:

Ups!

Danke!

Also:

Zeige, dass .....
in keiner Umgebung von 0 injektiv ist.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2005 - 16:46:12    Titel:

Ja. Da hast Du ein Problem. Ein möglicher weg wäre: Sei U eine Umgebung der 0. Dann passt in U eine Kreisscheibe K_r(0). Und da muß man zeigen, daß in dieser Schreibe, also in ]-r,r[ die Funktion nicht injektiv ist. Da die Funktion außer 0 stetig ist, würde dazu reichen zu zeigen, daß die Funktion mindestens ein lokales Extremum in ]-r,r[ besitzt. Also etwa dadurch, daß man mindestens eine Nullstelle der 1-Ableitung dort findet und die zweite dabei ungleich 0 ist. Ich kann leider nicht auf die Schnelle die Nullstellen von f' überblicken. MuPad kann das auch nicht.
franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2005 - 22:50:42    Titel:

Hallo,

danke dir zuerst!

Also die Ableitung von f(x)=x+x²*sin(1/x) ist
f'(x)=1+2xsin(1/x)-cos(1/x)
Und ich habe bisher nur gefunden, dass dass f'(x) nur bei 0 eine Nullstelle hat, also:

1+2*0sin(1/0)-cos(0)
=1-1=0

Die 2 Ableitung sieht so aus:

f''(x)=2sin(1/x)-(2cos(1/x)/x-sin(1/x)/x²

Wenn ich hier die 0 einsetze, bekomme ich jedoch 0 ?!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 02:09:42    Titel:

Die 0 wird da keine Rolle Spielen, denke ich. Rein intuitiv wird es so aussehen, das die Funktion um 0 in "Schlangen" schlägt, welche Extrema erzeugen, aufgrund derer die Fkt. nicht injektiv ist. Es ist, denke ich im inneren von ]0,r[ nach Stellen zu suchen mit f(x_0)=f(x_1) bei x_0 <> x_1.
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