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Integration - Partialbruchansatz
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Integration - Partialbruchansatz
 
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Ŕoosevelt
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Anmeldungsdatum: 19.12.2009
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2010 - 13:19:53    Titel: Integration - Partialbruchansatz

Hallo!

Ich soll ein Integral mittels Partialbruchzerlegung berechnen und bin nun soweit gekommen:

x^4 + 2x² + x -1 = A(x²+1)² + (Bx+C)(x-2) + (Dx+E)(x-2)(x²+1)

jetzt soll ich durch Wahl geeigneter x A,...E herausfinden.

Als erstes habe ich also x=2 gewählt und bekomme A=1 raus.
In der Lösung steht nun folgendes:

x=0: -1 = A -2C -2E --> C+E=1 --> C=1

meine Frage ist nun, woher weiß ich denn hier, dass E=0 ist, bzw. wie komme ich so einfach auf C=1?


Vielen Dank schon Mal.
Gruß
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2010 - 13:32:17    Titel: Re: Integration - Partialbruchansatz

Ŕoosevelt hat folgendes geschrieben:
Hallo!

Ich soll ein Integral Cool mittels Partialbruchzerlegung berechnen

.. schon Mal.
........................... aber erst Mal die Frage :
hat es einen Grund, warum du vor uns den Integranden verheimlichst? Sad
.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2010 - 13:37:35    Titel:

Daß E=0 ist, kannst Du aus der letzten Gleichung nicht schließen. Dazu brauchst Du mindestens einen weiteren Testwert für x.

Um systematisch vorzugehen, mußt du irgendwelche 5 Testwerte für x nehmen. Für jeden bekommst Du eine Gleichung, die eine lineare Kombination von A,...,E enthält.

Damit hast Du dann ein lineares Gleichungssystem für die fünf unbekannten Variablen. Bisher hast Du erst (mit Hilfe von zwei x-Werten) zwei dieser Gleichungen aufgestellt.

Gruß, mike
Lobatschewski
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Anmeldungsdatum: 30.05.2010
Beiträge: 69

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2010 - 15:15:04    Titel:

Warum kann man hier eigentlich nicht mit dem Koeffizientenvergleich arbeiten? Question
-stopfkind-
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Anmeldungsdatum: 27.02.2010
Beiträge: 2002

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2010 - 15:20:31    Titel:

ich würde das auch über koeffizientevergleich machen.

was ist denn überhaupt die ausgangsfunktion?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2010 - 16:00:00    Titel:

Natürlich geht das auch mit Koeffizientenvergleich. Aber die Fragestellung war ausdrücklich anders.

Gruß, mike
-stopfkind-
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Anmeldungsdatum: 27.02.2010
Beiträge: 2002

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2010 - 16:45:12    Titel:

warum einfach wenns auch schwer geht nicht wahr?
Lobatschewski
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Anmeldungsdatum: 30.05.2010
Beiträge: 69

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2010 - 21:49:50    Titel:

Wenn es in der Aufgabe ausdrücklich erwähnt wird, dass du geeignete
A, ....,E finden musst, sodass.. blabla, dann kann ich es verstehen.
Fände es aber ehrlich gesagt ein wenig albern die Aufgabe so zu stellen.

Man soll ja noch seinen eigenen Lösungsweg einschlagen dürfen, sofern er richtig ist. Confused
isi1
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7394
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2010 - 10:18:08    Titel: Re: Integration - Partialbruchansatz

Ŕoosevelt hat folgendes geschrieben:
Als erstes habe ich also x=2 gewählt und bekomme A=1 raus.
Es steht dann da: 25 = 25A , daraus folgt A = 1
Mit x=0 folgt für beide Fälle C+E=1
Deine Ausgangsgleichung liest sich jetzt so:
x^4 + 2x² + x -1 = (x²+1)² + (Bx+1-E)(x-2) + (Dx+E)(x-2)(x²+1) ... ausmultipliziert:
x^4 + 2x² + x -1= (D+1)x^4 +(E+2D)x³ +(B+D-2E+2)x² +(1-2(B+D))x -1
Jetzt immer wieder das gleiche Spiel: Zuerst beidseits +1 und dividiert durch x
x³ + 2x +1 = (D+1)x³ +(E+2D)x² +(B+D-2E+2)x +1-2(B+D)
Nun wieder x=0 ---> D = -B
x³ + 2x +1 = (1-B)x³ +(E-2B)x² +(2-2E)x +1 .... Beidseits +1 und dividiert durch x
x² = (1-B)x² +(E-2B)x -2E ---> E = 0
x² = (1-B)x² -2Bx ---> B = 0
Bleibt also A=1, B=0, C=1, D=0, E=0
Ŕoosevelt
Newbie
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Newbie


Anmeldungsdatum: 19.12.2009
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2010 - 13:58:40    Titel: Re: Integration - Partialbruchansatz

isi1 hat folgendes geschrieben:
Ŕoosevelt hat folgendes geschrieben:
Als erstes habe ich also x=2 gewählt und bekomme A=1 raus.
Es steht dann da: 25 = 25A , daraus folgt A = 1
Mit x=0 folgt für beide Fälle C+E=1
Deine Ausgangsgleichung liest sich jetzt so:
x^4 + 2x² + x -1 = (x²+1)² + (Bx+1-E)(x-2) + (Dx+E)(x-2)(x²+1) ... ausmultipliziert:
x^4 + 2x² + x -1= (D+1)x^4 +(E+2D)x³ +(B+D-2E+2)x² +(1-2(B+D))x -1
Jetzt immer wieder das gleiche Spiel: Zuerst beidseits +1 und dividiert durch x
x³ + 2x +1 = (D+1)x³ +(E+2D)x² +(B+D-2E+2)x +1-2(B+D)
Nun wieder x=0 ---> D = -B
x³ + 2x +1 = (1-B)x³ +(E-2B)x² +(2-2E)x +1 .... Beidseits +1 und dividiert durch x
x² = (1-B)x² +(E-2B)x -2E ---> E = 0
x² = (1-B)x² -2Bx ---> B = 0
Bleibt also A=1, B=0, C=1, D=0, E=0


vielen vielen dank. mit dem ansatz habe ich es dann hinbekommen.

gruß
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