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Textaufgabe Analysis
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Sven1980
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 72

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 12:43:10    Titel: Textaufgabe Analysis

Hallo!
Hab folgende Textaufgabe erhalten und komm da einfach nicht weiter!


Ein Mensch möchte von einem Punkt A am Ufer des Flusses, der 300 m breit ist, den Fluss überqueren und am gegenüberliegenden Ufer den Punkt B erreichen.

Punkt A und Punkt C lieben genau gegenüber, also 300 m entfernt.
Punkt C und Punkt B lieben 8000 m entfernt.

V(ruder) = 6 km/h
V(gehen) = 8 km/h

wie gelangt er am schnellsten von A nach B?
sprich, wo muss er an Land gehen?


grüße
Sven
TorbenW
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Anmeldungsdatum: 24.05.2005
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 13:50:00    Titel:

D sei der Pkt an dem der Mensch aus dem Boot steigt.
T sei die Zeit die vergeht bis zur Ankunft.
a, b, c und d seien Strecken, wobei AC die Strecke zwischen den Punkten A und C sei.

a = AC = 300
b = CD
c = AD
d = DB

v = Geschwindigkeit
s = Strecke
t = Zeit

sqrt(x) bedeutet Wurzel aus x.

v = s/t
t = s/v

v1 = 6 km/h = 6/3,6 m/s
v2 = 8 km/h = 8/3,6 m/s

Satz des Pythagoras
a² + b² = c²
c = sqrt(a² + b²)

b + d = 8000
d = 8000 - b

Minumum finden von
T = c / v1 + d / v2
T = sqrt(a² + b²) / v1 + d / v2
T = sqrt(300² + b²)*3,6/6 + (8000 - b)*3,6/8


Für ein lokales Minimum muss die Ableitung 0 sein.
T' = 1/2sqrt(300² + b²) * 2b * 3,6/6 - 3,6/8 = 0
b/6sqrt(300²+b²) = 1/8
b²/(300²+b²) = 36/64
b² = 9/16 * 300² + 9/16 b²
7/16 b² = 9/16 * 300²
b² = 9/7 * 90000
b = 340,16802570830450449306488261076

Man muss also ca. 340 m vom Punkt C entfernt an Land gehen.

Der Vollständigkeit halber um zu zeigen, dass es ein Minimum und kein Maximum ist, müsste man noch überprüfen, ob die zweite Ableitung grösser als null ist.
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