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Bestimmung von Eigenvektoren zum Hamiltonoperator
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tester101
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Anmeldungsdatum: 18.02.2005
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 16:03:22    Titel: Bestimmung von Eigenvektoren zum Hamiltonoperator

Ich habe einen Hamiltonoperator H in Form einer 2x2 Matrix,
welchen ich zunächst auf Diagonalform gebracht hab, also
seine Eigenwert a und b bestimmt habe.

Jetzt wollte ich die zugehörigen Eigenvektoren (x und y)über folgendes
Gleichungssystem bestimmen:

z.b. Hx-ax=0

Das lieferte mir aber nur x=(0,0) und y=(0,0) also keine Eigenvektoren.

Weis jemand wie man da noch anders vorgehen kann um die Eigenvektoren zu bestimmen ?

Besten Dank im vorraus
Fermat
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Anmeldungsdatum: 29.05.2005
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 18:17:50    Titel:

Dein Vorgehen ist absolut korrekt. Vermutlich hast Du Dich irgendwie verrechnet. Schreib doch mal Deinen Operator hin! F.
tester101
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Anmeldungsdatum: 18.02.2005
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 21:17:29    Titel:

Der Operator sieht so aus :


(h*wa (h/2)*o*exp[i*phi])
((h/2)*o*exp[-i*phi]) h*wl )

wa und wl sind jeweils eine Konstante d.h. a und l sind Indizes aber ist eigentlich auch egal.
Wenn ich von der Matrix jetzt noch die Einheitsmatrix multipliziert mit dem Eigenwert abziehe bekomme ich das Gleichungssystem :

(h*wa -a (h/2)*o*exp[i*phi]) (x1) =(0)
((h/2)*o*exp[-i*phi]) h*wl -a ) (x2) (0)

und das liefert mir x1=0 , x2=0
tester101
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Anmeldungsdatum: 18.02.2005
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 21:20:05    Titel:

Der Operator ist falsch dargestellt !!
in der ersten Zeile ist nach wa der erste Eintrag zuende.
und in der zweiten Zeile ist nach exp[...] der erste eintrag in der Zeile zuende. (dann kommt jeweils die zweite Spalte)
Fermat
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Anmeldungsdatum: 29.05.2005
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2005 - 21:43:57    Titel: Antwort

Mathematisch ist die Sache klar: Indem Du die Eigenwerte lambda als Lösungen von det(H - lambda E) = 0 bestimmst, sorgst Du dafür, daß das homogene LGS (H - lambda E) x = 0 nicht nur die triviale Lösung x = 0, sondern auch unendlich viele nicht-triviale Lösungen besitzt. Wenn man alles richtig macht, muß also auch was sinnvolles rauskommen.

Um die Rechnerei etwas übersichtlicher zu machen, setze ich in Deinem Operator o/2 = w0, wa = w1, wl = w2 und h = 1 also:

[ w1, w0 exp(i phi)]
[ w0 exp(-i phi), w2]

Die charakteristische Gleichung lautet

0 = (w1 - lambda)(w2 - lambda) - w0²
0 = lambda² - (w1+w2) lambda + w1w2 - w0²

mit den Lösungen

lambda1 = (w1+w2)/2 + wurzel
lambda2 = (w1+w2)/2 - wurzel

wobei

wurzel = sqrt[(w1+w2)²/4 - w1w2 +w0²].

Die Eigenwerte hätten wir also schon. Eingesetzt in

(H - lambda E) x = 0

ergibt sich für lambda1 das Gleichungssystem:

(1) [(w1-w2)/2 - wurzel] x1 + w0 exp(i phi) x2 = 0
(2) w0 exp(-i phi) x1 + [(w2-w1)/2 - wurzel] x2 = 0

Aus (1) folgt:

x2 = [(w2-w1+2*wurzel)/2w0] exp(-i phi) x1

und aus (2):

x1 = [(w1-w2+2*wurzel)/2w0] exp(i phi) x2.

Wie Eingangs erwähnt, erhält man unendlich viele Lösungen. Um eine spezielle Lösung auszuwählen, ist es sinnvoll, den Eigenvektor zu normieren:

1 = x1² + x2²

das ergibt für x1:

1 = x1² + [(w2-w1+2*wurzel)/2w0]² exp(-2i phi) x1²
x1 = sqrt {1/[1 + (w2-w1+2*wurzel)²/4w0² exp(-2i phi)]}

und für x2:

1 = [(w1-w2+2*wurzel)/2w0]² exp(2i phi) x2² + x2²
x2 = sqrt {1/[1 + (w1-w2+2*wurzel)²/4w0² exp(2i phi)]}.

Aus lambda2 ergibt sich entsprechend der zweite Eigenvektor.

Ich kann natürlich nicht ausschließen, daß ich mich irgendwo verrechnet oder vertippt habe - also bitte alles selbst nachrechnen.

Noch eine Bemerkung zu Deinem Operator: Ich finde es merkwürdig, daß in einem 2x2 Operator drei unabhängige Frequenzen vorkommen. Dein o sollte irgendwie von wa und wl abhängen. Das würde vermutlich auch die Rechnerei vereinfachen. Also vielleicht auch nochmal den physikalische Ansatz überdenken.

Fermat
tester101
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Anmeldungsdatum: 18.02.2005
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 15:04:58    Titel:

Alles klar Danke.

Ps. o ~ wa und wl
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