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Kurvendiskussion - Probl. mit Polst., Monotonie, Wendep...
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Kurvendiskussion - Probl. mit Polst., Monotonie, Wendep...
 
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Mya26
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 17:30:51    Titel: Kurvendiskussion - Probl. mit Polst., Monotonie, Wendep...

Hallo,

ich habe auch so meine Probleme mit Kurvendiskussionen.

Für folgende Funktion f(x)=x^4-4x^3+4x^2 soll eine komplette Kurvendiskussion durchgeführt werden.

Einige Sachen kann ich, die habe ich auch schon eingetragen, die anderen Punkte bereiten mir doch arge Magenschmerzen. Kann mir das einer von Grund auf in einfachen Worten erklären?
Weiß auch nicht, aber irgendwie will das nicht in mein Kopf....

Vielen vielen Dank.

Also, fangen wir mal an:

Bestimmung der Ableitungen 1. + 2. Ordnung sind demnach

f'(x)=4x^3-12x^2+8x
f''(x)=12x^2-24x+8


Definitionsbereich bestimmen
*********************************************************
D=R


Symmetrieverhalten
*********************************************************
f(-x) ungleich f(x)
-f(-x) ungleich f(x)

=> liegt keine Symmetrie vor


Nullstellen
*********************************************************
x^4-4x^3+4x^2=0
x^2(x^2-4x+4)=0
x1=0 x2/3=2+-√0
x2=2


Polstellen
*********************************************************
wie berechne ich Polstellen?????



Monotonieverhalten
*********************************************************
wie funktioniert das?



Extremstellen
*********************************************************
f'(x)=0
4x^3-12x^2+8x=0
x^3-3x^2+2x=0
x(x^2-3x+2)=0
x1=0 x2/3=1,5+-√0,25
x1=0; x2=1; x3=2 ==> 3 Kandidaten für Extremstellen


Prüfung der aRt der Extrema mit Hilfe der 2. Ableitung
f''(x)=12x^2-24x+8
f''(x1)=f''(0)=8>0 ==>relatives Minimum
f''(x2)=f''(1)=-4<0 ==>relatives Maximum
f''(x3)=f''(2)=8>0 ==>relatives Minimum


Wendepunkte, Krümmungsverhalten
********************************************************
Wie finde ich die Wendepunkte raus und wie berechne ich das
Krümmungsverhalten bzw. was ist das?


Asymptotisches Verhalten der Funktion für y->+- ∞
********************************************************
Wie ermittle ich das?



Kann mir jemand helfen? Vielen vielen Dank im Voraus.

Gruß
Mya
schnitt
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Anmeldungsdatum: 24.05.2005
Beiträge: 277

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 17:40:22    Titel:

alos ers ma zu den wendestellen:
einfach 2. ableitung gleicvh null setzen mit der dritten ableitung die probe machen das die verdächtigen nicht null sind und die ergebnisse (also die x werte) in ausgangsgleichung einsetzen um die y werte zu bekommen
is quasi wie extremstellen nur mit 2. und 3. ableitung

asymptotidsches verhalt bzw verhalten an den ändern x=unendlich:
einfach von nder ausgangsgleichung das x mit dem höchsten exponenten ausklammern und x gleich unendlih einsetzen damit du weißt ob der graph auf der linken bzw rechten seite fällt oder steigt
versuch es ma hab grad keine zeit das nachzurechnene ansonsten mach ich das später
cu
Mya26
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 18:24:03    Titel: Kurvendiskussion

Wendepunkte:

f''(x)=12x^2-24x+8=0
x^2-2x+2/3=0
x1=1,57
x2=0,42

f'''(x)=24x-24

f'''(x1)=13,68
f'''(x2)=-13,92
Was habe ich nun bewiesen, dass ich die x-Werte von der 2. Ableitung in die 3. eingesetzt habe?

f(x)=x^4-4x^3+4x^2
f(x1)=f(1,57)=6,0757-15,4796+4,9298=-4,4741
f(x2)=f(0,42)=0,031-0,296+0,7056=0,4406


Also sind meine Wendestellen bei (1,57;-4,47) und (0,42; 0,44), Richtig?

Was bedeutet nun in dem Zusammenhang konvex und konkav?

Die Erklärung mit dem Asymptotischen Verhalten habe ich leider nicht verstanden. Was muss ich genau machen?

Kann jemand auch die anderen Fragen bzgl. Polstellen, Monotonieverhalten beantworten?
Mya26
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2005 - 09:17:16    Titel:

Kann keiner helfen?
S1
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 349

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2005 - 09:25:37    Titel:



dat isser also! die punkte sehen doch garnicht so zubestimmen aus!

S1
Mya26
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2005 - 09:38:41    Titel:

Habe ich die Wende-Punkte jetzt richtig bestimmt. Wenn ich mir den Graphen so anschaue, eher nicht oder?
sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2005 - 09:58:05    Titel:

Hi!

Ich habe mich gerade mal um die Wendestellen gekümmert:

W1 (1+sqrt(3)/3 ; 4/9)
W2 (1-sqrt(3)/3 ; 4/9)


Gruß
sunshine_
S1
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 349

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2005 - 12:33:04    Titel:

Ich habe die Aufgabe auch mal versucht!!!

Gegeben sei die Funktion f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2

f(x) = x^4-4x^3+4x^2
f'(x) = 4x³ - 12x² + 8x
f''(x) = 12x² - 24x + 8

f(x) = 0 entspricht den Nullstellen
f'(x) = 0 entspricht den Extrema
f''(x) = 0 entspricht den Wendepunkten

Nullstellen sind:
P: (0|0)
P: (2|0)
Das kann man sehr schön aus der Zeichnung ablesen Wink

Extrema:
4x³ - 12x² + 8x : (x-1) = 4x² - 8x
4x³ - 4x²
-----------
- 8x² + 8x
- 8x² + 8x
------------
0

Die erste Extremstelle liegt bei P (1| y)
y = 1^4 - 4*1^3 + 4*1^2
y = 1 - 4 + 4
y = 1

Extrema: P (1|1)
Für weitere Extremstellen nehmen wir die wunderschöne P,Q-Formel!

4x² - 8x = 0 | :4
x² - 2x = 0

x 1,2 = -(-2/2) +- sqrt ((-2/2)²-0)
x 1,2 = 1 +- sqrt 1
x 1 = 1 + 1 = 2
x 2 = 1 - 1 = 0

Ex 2:
y = 0^4 - 4*0^3 + 4*0^2 = 0

Ex 3:
y = 2^4 - 4*2^3 + 4*2^2 = 0

Extrema:
p1 (0|0)
p2 (1|1)
p3 (2|0)

Wendepunkte:

f''(x) = 12x² - 24x + 8

0 = 12x² - 24x + 8 |:12
0 = x² - 2x + (2/3)

x 1,2 = - (-2/2) +- sqrt ( (-2/2)² - (2/3) )
x 1,2 = 1 +- sqrt ( 1 - 2/3 )
x 1,2 = 1 +- sqrt 1/3
x 1 = 1 + 0,57735 = 1,57735
x 2 = 1 - 0,57735 = 0,42264

Wendepunkte:
y = 1,57735^4 - 4*1,57735^3 + 4*1,57735^2 = 0,444
y = 0,42264^4 - 4*0,42264^3 + 4*0,42264^2 = 0,444

Die Wendepunkte sind also P1 (1,57735|0,444) und P2 (0,42264|0,444).

Y-Achenstreffer kannst du der Funktion entnehmen + 0 also durch den Ursprung.

Asymptoten hat der Graph keine, da du für jeden eingesetzten X-Wert auch einen Y-Wert bekommst.

Monotomie sagt mr nichts.

S1
judo-60kgtvh
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Anmeldungsdatum: 07.04.2005
Beiträge: 46

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2005 - 14:25:07    Titel:

Asymptotisches Verhalten bedeutet:
An welche Asymptote sich die Funktion annähert, von daher kommt auch Asymptote: Näherungsgerade.

Du untersuchst:

für x -> + unendlich gilt f(x) ->0 (kann auch andere Zahlen sein, dann ist z.B. y=2 eine Asymptote)
oder
für x-> -unendlich gilt f(x) -> 0(...)

gelesen heißt das:
Für x-> plus unendlich gilt die Funktion strebt gegen null/unendlich

meistens tippt man große/kleine Zahlen in den Taschenrechner ein und sieht dann schon ob es eine Asymptote ist, jedenfalls in 99,99% der GymnasialFälle

Bei deiner Funktion sieht man schon, dass keine Asymptote vorhanden ist, Asymptoten treten meistens in Exponentialfunktionen auf

Hoffe ich konnt dir helfen
Eddi22
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Anmeldungsdatum: 30.05.2005
Beiträge: 92
Wohnort: Wriedel

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2005 - 15:26:13    Titel:

Also mal ernsthaft in den Raum gefragt:

Asymptoten, Polstellen sind doch identische Begriffe. Bei der angebenen Funktion handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Da wir ein "asymtotisches" Verhalten bei gebrochen rationalen Fkt. haben, können wir diesen Punkt bei der Kurvendiskussion doch völlig ausschließen, oder? Er bringt uns überhaupt nichts für die eigenliche Zeichnung...

Question
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