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Wann ist eine Funktion f an der Stelle Xo differenzierbar?
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Regenmantel
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 21:22:52    Titel: Wann ist eine Funktion f an der Stelle Xo differenzierbar?

Wann ist eine Funktion f an der Stelle Xo differenzierbar?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 21:34:54    Titel:

Wenn der Grenzwert

lim_ {x->x_0} (D(f))(x)

existiert, wobei (D(f))(x) der Differenzenquotient

(D(f))(x) = (f(x)-f(x_0))/(x-x_0))

ist.
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 22:35:38    Titel:

Das genügt nicht. Links- und rechtsseitiger Grenzwert müssen gleich sein.
Für │x│ existiert der Grenzwert bei x=0, aber linksseitiger Grenzwert ist -1 und rechtsseitiger Grenzwert ist +1. Somit bei x0=0 nicht differenzierber.

Gruß
Andromeda
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 22:42:09    Titel:

@Andromeda: Ich weiß, Du meinst es gut, aber was Du behauptest ist nicht richtig. Bei |x| existiert der GW. genau aus dem von dir genannten Grund nicht. Unter den "Studierten" : das mit "links" und "rechts" ist doch eigentlich nur eine Ausflucht. Der Grenzwert ist über "alle Folgen, die gegen x_0 konvergieren mit x_0 nicht dabei betrachte die entsprechenden Funktionswertwfolgen" definiert.

P.S. Betrachte Formelsammlung Seite 57 Definition A2


Zuletzt bearbeitet von algebrafreak am 05 Jun 2005 - 22:50:55, insgesamt einmal bearbeitet
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 22:50:44    Titel:

@algebrafreak

Du widersprichst dir selbst. In einem anderen Thread, indem es ebenfalls um die Betragsfunktion geht, schreibst du

Zitat:
Nahtstellen sind also -2 und 2. Und da ist g(x) nicht differenzierbar, da die Grenzwerte der Ableitungen der Stücke (x^2-4)' = 2x und (-(x^2-4))' = -2x von links und von rechts nicht übereinstimmen.


Da existieren also Grenzwerte von links und von rechts.

Gruß
Andromeda
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 22:59:42    Titel:

Ich sehe in dem von mir Gesagten keinen Widerspruch. Mein Kommentar war auf "das genügt nicht" abgezielt. Mein erster Beitrag entspricht offensichtlich der Definition von "Differenzierbar". Es ist nicht möglich, daß eine Aussage sich selber nicht genügt. Natürlich ist das mit links und rechts-Grenzwerten richtig.

Es liegt offenbar ein syntaktisches Mißverständnis vor.
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