Existenz von Integralen

Liliaaa · Junior Member Anmeldungsdatum: 22.04.2005 Beiträge: 63

Wir rätseln hier schon lange über dieser Aufgabe und keiner weiß wie man das wirklich zeigen kann. Aber vielleicht kann mir hier jemand helfen?

Es handelt sich um folgende Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass das Integral int von 0 bis 1 cosx/x^1/2 dx existiert.

b) Zeigen Sie mit Hilfe partieller Integration, dass das Integral int von 1 bis unendlich cosx/x^1/2 dx existiert.

c) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f(x) = cos x^2

d) Zeigen Sie mit Hilfe von a), b) und einer geeigneten Subst., dass int von 0 bis unendlich cos x^2 dx existiert.

Dabei is noch ein Hinweis gegeben: Im Unterschied zu Reihen ist also lim xgegen unendlich f(x) = 0 für die Existenz von int von 1 bis unendlich f(x) dx keine notwendige Bedingung.

Sorry, dass ich das Integral usw. nicht besser schreiben kann.
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Der Weg ist das Ziel Wink

maerchenkoenig · Verfasst am: 07 Jun 2005 - 08:53:41 Titel:

hallo,

es gibt ja verschiedene integrabilitäskriterien, die man hier ausprobieren könnte. Ich denke aber, es reicht aus zu wissen, dass jede auf [a,b]€R stetige Funktion auf [a,b] auch riemann-integriebar ist.

grüße
m

Liliaaa · Junior Member Anmeldungsdatum: 22.04.2005 Beiträge: 63

leider wollen die den beweis sehen...schritt für schritt....
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Der Weg ist das Ziel Wink

maerchenkoenig · Verfasst am: 08 Jun 2005 - 08:13:59 Titel:

hallo,

den satz über r-integrierbarkeit findest du in jedem lehrbuch zur analysis.
Dabei wird die riemannsche-summe der funktion über dem intervall aus immer feineren zerlegungen des intervalls gebildet. sei jetzt Z eine zerlegung und Z' eine feinere zerlegung, S(f(x),Z) die riemannsche-summe von f(x) mit der zerlegung Z. dann gilt bei stetigen funktionen

|S(f(x),Z')-S(f(x),Z)| < epsilon

du kannst in aufgabe a die funktion zunächst auch einfach integrieren:

int(0,1,cosx/(x^1/2) ) = [0,1,2*sqr(x)*cos(x)] + int(0,1,2*sqr(x)sin(x)). Jetzt steht die wurzel nicht mehr im nenner, vielleicht ist das ja leichter.

der zusammenhang mit cos(x²) entsteht einfach durch substitution:

u = x²
du/(2*sqr(u)) = dx und cos(x²) dx = 2*cos(u)/sqr(u) du

grüße
m

Gauss · Senior Member Anmeldungsdatum: 20.04.2005 Beiträge: 2063

Bei Aufgabe a) Funktioniert das nicht, da cos(x)/x^1/2 auf [0,1] nicht stetig ist. (Der Punkt x=0)
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Mfg
Thomas

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maerchenkoenig · Verfasst am: 08 Jun 2005 - 14:24:58 Titel: