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Existenz von Integralen
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Liliaaa
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Anmeldungsdatum: 22.04.2005
Beiträge: 63

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 22:53:33    Titel: Existenz von Integralen

Wir rätseln hier schon lange über dieser Aufgabe und keiner weiß wie man das wirklich zeigen kann. Aber vielleicht kann mir hier jemand helfen?

Es handelt sich um folgende Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass das Integral int von 0 bis 1 cosx/x^1/2 dx existiert.

b) Zeigen Sie mit Hilfe partieller Integration, dass das Integral int von 1 bis unendlich cosx/x^1/2 dx existiert.

c) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f(x) = cos x^2

d) Zeigen Sie mit Hilfe von a), b) und einer geeigneten Subst., dass int von 0 bis unendlich cos x^2 dx existiert.

Dabei is noch ein Hinweis gegeben: Im Unterschied zu Reihen ist also lim xgegen unendlich f(x) = 0 für die Existenz von int von 1 bis unendlich f(x) dx keine notwendige Bedingung.


Sorry, dass ich das Integral usw. nicht besser schreiben kann.
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 08:53:41    Titel:

hallo,

es gibt ja verschiedene integrabilitäskriterien, die man hier ausprobieren könnte. Ich denke aber, es reicht aus zu wissen, dass jede auf [a,b]€R stetige Funktion auf [a,b] auch riemann-integriebar ist.

grüße
m
Liliaaa
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Anmeldungsdatum: 22.04.2005
Beiträge: 63

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 17:07:40    Titel:

leider wollen die den beweis sehen...schritt für schritt....
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 08:13:59    Titel:

hallo,

den satz über r-integrierbarkeit findest du in jedem lehrbuch zur analysis.
Dabei wird die riemannsche-summe der funktion über dem intervall aus immer feineren zerlegungen des intervalls gebildet. sei jetzt Z eine zerlegung und Z' eine feinere zerlegung, S(f(x),Z) die riemannsche-summe von f(x) mit der zerlegung Z. dann gilt bei stetigen funktionen

|S(f(x),Z')-S(f(x),Z)| < epsilon

du kannst in aufgabe a die funktion zunächst auch einfach integrieren:

int(0,1,cosx/(x^1/2) ) = [0,1,2*sqr(x)*cos(x)] + int(0,1,2*sqr(x)sin(x)). Jetzt steht die wurzel nicht mehr im nenner, vielleicht ist das ja leichter.

der zusammenhang mit cos(x²) entsteht einfach durch substitution:

u = x²
du/(2*sqr(u)) = dx und cos(x²) dx = 2*cos(u)/sqr(u) du

grüße
m
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 12:38:38    Titel:

Bei Aufgabe a) Funktioniert das nicht, da cos(x)/x^1/2 auf [0,1] nicht stetig ist. (Der Punkt x=0)
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 14:24:58    Titel:

Gauss hat folgendes geschrieben:
Bei Aufgabe a) Funktioniert das nicht, da cos(x)/x^1/2 auf [0,1] nicht stetig ist. (Der Punkt x=0)


hallo,

es ist zwar richtig, dass cos(x)/x^1/2 im punkt x=0 nicht stetig ist. aber die funktion ist in jedem punkt s mit s>0 stetig. ist s=1/n dann existiert das integral von 1/n bis 1 und zwar auch für limes n gegen unendlich.

grüße
m
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