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Regenmantel
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 22:02:48    Titel: Differenzieren

Welche sind differenzierbar?
Warum sind sie differenzierbar bzw. warum nicht?
1.) f(x)= x^2-4
2.) g(x)= |x^2-4|
3.) h(x)= x^2*lnx
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2005 - 22:13:35    Titel:

1.) f(x)= x^2-4

Polynome sind immer in ganz R diffbar. Begründung: Als +,* Verknüpfung differenzierbarer Funktionen.

2.) g(x)= |x^2-4|

g(x) ist als eine Stückweise diffbare Funktion (polynome, siehe 1)) nur an Nahtstellen zu untersuchen.

g(x) =
x^2-4 , falls x^2 -4 >= 0 bzw. x^2 >= 4 bzw. |x| >= 2
-(x^2-4), falls x^2-4 < 0 bzw. |x| < 2

Nahtstellen sind also -2 und 2. Und da ist g(x) nicht differenzierbar, da die Grenzwerte der Ableitungen der Stücke (x^2-4)' = 2x und (-(x^2-4))' = -2x von links und von rechts nicht übereinstimmen.

3.) h(x)= x^2*lnx

Die Logarithmusfunktion ist in ]0,infty[ definiert und dort diffbar (Begründung recht kompliziert). x^2 ist in ]0,infty[ definiert und dort diffbar. Also ist die Verknüpfung in ]0,infty[ diffbar, sonst nicht definiert.
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