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Analysis I: Warum ist die Wurzelfunktion eine Abbildung?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Analysis I: Warum ist die Wurzelfunktion eine Abbildung?
 
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Uyaniksporun-Santraforu
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Anmeldungsdatum: 02.08.2010
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2010 - 21:09:15    Titel: Analysis I: Warum ist die Wurzelfunktion eine Abbildung?

Hallo,

Im Zuge meines Lernens für die Analysis I Klausur, bin ich sozusagen über einen kleinen Stein gestolpert, der wohlmöglich für manche von euch gar nicht da ist.

Definition:

Es seien A und B Mengen und es sei jedem Element a aus A genau ein Element f(a) in B zugeordnet. Diese Zuordnung nennt man dann eine Abbildung oder auch Funktion f.


Meine Frage ist nun, weshalb die Wurzelfunktion eine Funktion bzw. eine Abbildung ist, da sie ja jedem Element a aus A genau zwei Elemente f(a) aus B zuordnet.


Vielen Dank
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2010 - 21:12:29    Titel:

Hallo!

Dazu müsstest du ersteinmal erklären, was A, B und die Wurzelfunktion f sind. Wenn ich mal A=B=IR, sowie die Standard-Definition der Wurzel hernehme, nämlich, dass b=f(a)=wurzel(a) <==> b^2=a und b>=0, dann ist dies eine Abbildung in deinem Sinne.

Cyrix
Uyaniksporun-Santraforu
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Anmeldungsdatum: 02.08.2010
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2010 - 21:57:18    Titel:

Hi,

ja, die beiden Mengen A und B sind in diesem Fall beide die Menge der reellen Zahlen.

Die Wurzelfunktion ist f(x)=Wurzel(x), die Umkehrfunktion der Funktion f(x)=x^2.

Da hier Definitionsmenge und Zielmenge gleich sind, verwirrt mich das jetzt ein wenig. Und ich bin nicht schlauer als vorher.

Wieso macht das einen Unterschied wenn ich IR auf IR abbilde. Wäre das anders, wenn ich Teilmengen aus IR betrachten würde, die verschieden voneinander sind?

Danke
Mathreas
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Anmeldungsdatum: 08.04.2010
Beiträge: 278

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2010 - 22:25:26    Titel:

Du schreibst:

Definition:

Es seien A und B Mengen und es sei jedem Element a aus A genau ein Element f(a) in B zugeordnet. Diese Zuordnung nennt man dann eine Abbildung oder auch Funktion f.

Meine Frage ist nun, weshalb die Wurzelfunktion eine Funktion bzw. eine Abbildung ist, da sie ja jedem Element a aus A genau zwei Elemente f(a) aus B zuordnet.


Schulmathematik????


da ist die Wurzelfunktion aber nur für alle a element R plus definiert soweit ich mich erinner^^

Ist das dein haken?

Mathreas
Uyaniksporun-Santraforu
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Anmeldungsdatum: 02.08.2010
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2010 - 22:45:31    Titel:

Hallo,

nein das ist nicht mein Haken.

Denn wir können die Definitionsmenge einschränken und die Zielmenge nicht.

Dadurch liegt der Definitionsbereich im Intervall [0,unendlich] und der Wertebereich [-unendlich,unendlich].

Damit wäre beispielsweise f(25) = 5 und -5


Wo ist mein Denkfehler?

Danke für eure Posts
Mathreas
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Anmeldungsdatum: 08.04.2010
Beiträge: 278

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2010 - 23:01:14    Titel:

Wurzel 25 ist 5!!!!

Genau ein Element als Lösung!!

Dein Haken ist (wie bei pq-Formel) +-Wurzel^^

oder?

denk ma drüber nach...*g*



mathreas
Stayfo
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Anmeldungsdatum: 07.01.2008
Beiträge: 213

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2010 - 23:07:39    Titel:

Der Wertebereich kann nicht [-unendlich,unendlich] sein, sonst ist die Wurzelfunktion keine Abbildung, wie du schon richtig erkannt hast.

Zitat:
Denn wir können die Definitionsmenge einschränken und die Zielmenge nicht.


Wer sagt das? Du kannst dir deine Abbildung so konstruieren, wie du möchtest. Für die Wertebereiche [0,unendlich] oder [-unendlich,0] ist die Wurzelfunktion eine Abbildung.

Ich habe in meinen Unterlagen nachgeschaut und wir haben die Wurzelfunktion mit [0,unendlich] für Definitions- als auch Wertebereich definiert.

Gruß


@ Mathreas:

Zitat:
Wurzel 25 ist 5!!!!

Genau ein Element als Lösung!!


Dem kann ich nicht ganz zustimmen, denn die Wurzel von 25 ist eine reelle Zahl x, die die Gleichung x^2=25 erfüllt, d.h. also x ∈ {-5,5}. Wie schon gesagt, im Falle der Wurzelfunktion ist das Definitionssache.
Uyaniksporun-Santraforu
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Anmeldungsdatum: 02.08.2010
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2010 - 23:30:00    Titel:

Mit dem Post von Stayfo kann ich mich zufrieden geben.

Allerdings haben wir bei uns im Skript die Mengen auf der die Wurzelfunktion abgebildet wird nicht a priori eingeschränkt.

Dies taten wir lediglich um die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Funktion x^2 darzustellen.

Denn sonst ist die Wurzelfunktion weder surjektiv noch injektiv, laut Skript. Aber dort ist nicht die Rede davon, dass sie dann auch gar keine Abbildung ist.

Deshalb war ich stutzig geworden. hmmm......

Werde morgen in der Sprechstunde mal nachfragen, dann poste ich die Antwort die ich dort erhalten habe.
Stayfo
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Anmeldungsdatum: 07.01.2008
Beiträge: 213

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2010 - 09:59:42    Titel:

Wie wäre es, wenn du uns einfach postest, was bei dir im Skript steht. Denn so werden wir wohl nie verstehen was dein Problem ist.
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2010 - 11:27:30    Titel:

Also mal langsam... Wir haben folgende Funktion:

f : R → R; x → x²

Diese Funktion ist weder injektiv, noch surjektiv. Sie ist daher nicht umkehrbar. Das wäre aber folgende Funktion:

g : R* → R*; x → x²

Wobei R* die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen ist (also [0, unendlich[). Ich definiere die Wurzel als die Umkehrfunktion von g und da gilt wurzel(25) = 5 und nix anderes. Wenn man aber sagt, dass die Wurzel aus 25 sowohl 5 als auch -5 sein kann, dann handelt es sich nicht um eine Funktion, es sei denn man würde das in etwa so definieren:

h : R* → P(R*); x → {y € R* | y² = x}

Dann würde gelten h(25) = {-5, 5} oder allgemeiner, wenn man meine Wurzel-Definition nimmt: h(x) = {wurzel(x), -wurzel(x)}.
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